Cambio en el Lado Derecho de las Restricciones (Programación Lineal)

El vector del lado derecho asociado a las restricciones de un modelo de Programación Lineal puede tener distintas interpretaciones prácticas como, por ejemplo, la disponibilidad de insumos para la fabricación de determinados productos, limitantes de capacidad, requisitos de demanda, entre otros.

En consecuencia resulta de interés analizar el impacto del cambio de uno o varios coeficientes del vector de lado derecho sobre los resultados originales del modelo sin la necesidad de reoptimizar, es decir, sin que tener que resolver nuevamente un modelo que incorpore los cambios propuestos.

En este contexto, si en particular se verifica que:

vector-xb

Se puede afirmar que se conserva la actual base óptima. Lo anterior implica que las variables básicas del modelo lo seguirán siendo bajo este nuevo escenario y por tanto la nueva solución óptima del problema se podrá encontrar a través de la resolución del mismo sistema de ecuaciones original (se conservan las restricciones activas originales).

Ahora bien, si alguno de los coeficientes en el cálculo del vector de variables básicas adopta un valor negativo, estamos frente a una solución básica infactible, lo que nos obliga a realizar una actualización de los resultados del modelo para encontrar la nueva solución, base óptima y valor óptimo, pero que no pase por la reoptimización del mismo.

Consideremos el siguiente modelo de optimización:

Modelo de Programación Lineal

Al resolver este modelo de Programación Lineal con el Método Simplex se alcanza la siguiente tabla final, donde s1, s2 y s3 son las variables de holgura de las restricciones 1, 2 y 3, respectivamente:

Tabla Optima Metodo Simplex

Las variables básicas son x=100, s2=400, y=350, donde todas satisfacen las condiciones de no negatividad (es decir es una solución básica factible) y además el costo reducido de las variables no básicas (s1 y s3) son mayores o iguales a cero, condición necesaria y suficiente junto a lo anterior para garantizar que nos encontramos frente a la solución óptima del problema (solución básica factible óptima).

Adicionalmente y en relación a la proposición anterior se pueden corroborar los resultados obtenidos:

calculo-xb

Consideremos ahora que el lado derecho de la restricción 1 cambia de su valor original 1600 a 1650. ¿Cambia la actual base óptima?. Para ello recalculamos el vector de las variables básicas:

calculo-xb-modificado

Se puede apreciar que todos los coeficientes del vector de variables básicas (Xb) son mayores o iguales a cero, es decir, se conserva la base óptima (idénticas variables básicas) pero la solución óptima cambia a x=125, s2=250, y=350.

Adicionalmente el valor óptimo ahora es V(P)=3.175. Sin embargo, no es necesario seguir realizando iteraciones del Método Simplex (dado que estamos frente a una solución básica factible óptima) y nos ahorramos el trabajo de la reoptimización.

La pregunta natural es ¿Qué sucede si al actualizar el vector de las variables básicas al menos una de las variables toma un valor negativo?. Modifiquemos ahora en forma simultanea los lados derechos de las restricciones 1 y 2 a 2.000 y 1.500, respectivamente. El nuevo vector de variables básicas queda definido de la siguiente forma:

calculo-xb-modificado-v2

Notar que ahora la variables básica s2=-1.000 adopta un valor que no satisface la condición de no negatividad para las variables de decisión. Al definir lo anterior una situación de infactibilidad es necesario actualizar la tabla final del Método Simplex con el valor de las variables básicas y el valor de la función objetivo:

tabla-simplex-lado-derecho

Para encontrar la solución óptima de este problema a partir de la tabla anterior se puede aplicar el Método Simplex Dual. La variable básica que deja la base es s2 (variable básica asociada a la fila 2 donde encontramos el “lado derecho” negativo).

Para determinar la variable que entra a la base calculamos el mínimo cuociente: Min{-3/2/-3}=1/2 ==> s1 entra a la base. Actualizamos la tabla del Método Simplex obteniendo lo siguiente:

tabla-final-simplex-modific

Se puede apreciar que sólo fue necesario realizar una iteración adicional para poder obtener la solución óptima del nuevo escenario (x=400/3, s1=1.000/3, y=350) con un valor óptimo de V(P)=3.200.

El siguiente gráfico realizado con el software Geogebra permite visualizar la nueva solución óptima y estructura del problema, donde ahora la solución óptima se encuentra con las restricciones 2 y 3 activas (el problema original en su solución óptima consideraba la restricción 1 y 3 como activas):

resolucion-grafica-cambio-l

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