Problema de Inversión y Selección de Proyectos

Los modelos de Programación Entera constituyen una alternativa eficiente para apoyar la toma de decisiones en aquellos problemas donde se debe implementar (o no) una alternativa o curso de acción que no admite soluciones intermedias. Tal es el caso del Problema de Selección de Cartera de Proyectos donde no es razonable, por ejemplo, si se destina la mitad de los fondos requeridos para un proyecto, asumir que de éste se obtendrá la mitad de sus beneficios o Valor Presente Neto (VPN). Dicho de otro modo, el cumplimiento del supuesto de la proporcionalidad de la Programación Lineal no es adecuado.

El problema que se presenta a continuación aborda estos aspectos y adicionalmente se busca proponer distintas alternativas al momento de establecer las restricciones o condiciones del problema.

Problema de Inversión y Selección de Proyectos

Una empresa está pensando invertir en cuatro proyectos diferentes, cada proyecto se finaliza a lo más en 3 años. Los flujos de caja requeridos en cada año junto con el Valor Presente Neto (VPN) de cada proyecto, concluidos los años de ejecución, y las disponibilidades de recursos financieros se resumen en la siguiente tabla:

tabla-inversion-y-vpn-proye

Interesa determinar en cuáles proyectos invertir de modo de conseguir el mayor VPN de la inversión.

Variables de Decisión: Se desea determina en cuáles proyectos invertir de las 4 alternativas posibles.

variables-decision-inversio

Función Objetivo: Maximizar la sumatoria del Valor Presente Neto (VPN) de los proyectos en los cuales se decida invertir.

maximizar-vpn-inversion

Restricciones: Se proponen 3 escenarios para definir las restricciones del problema.

Alternativa 1: Reinvirtiendo el dinero no utilizado en un período, es decir, el dinero que eventualmente quede disponible al final del año 1 y año 2 se puede considerar como parte del presupuesto disponible para el año siguiente. Lo anterior se representa a través de las variables s_{1} y s_{2}, respectivamente.

alternativa-1-inversion-pro

La implementación computacional del problema haciendo uso de Solver de Excel nos entrega los siguientes resultados:

solucion-optima-inversion-1

Se debe invertir en los proyectos 1 y 4. El VPN total es de $51.

Alternativa 2: Sin invertir el dinero no utilizado en un período, pero utilizando el retorno de los proyectos concluidos.

alternativa-2-inversion

En este caso se debe invertir en los proyectos 1, 2 y 4, alcanzando un VPN total de $69.

solucion-optima-inversion-2

Alternativa 3: Reinvirtiendo el dinero no utilizado en un período y también el retorno de los proyectos concluidos.

alternativa-3-inversion

En este caso la solución óptima y valor óptimo es equivalente al escenario planteado en la Alternativa 3.

solucion-optima-inversion-3

Cabe destacar que la Alternativa 3 es la que provee mayor flexibilidad (en cuanto a los presupuestos para inversión) en comparación a las Alternativas 1 y 2, en consecuencia era razonable esperar en este caso que el VPN total de la Alternativa 3 sea mayor o igual que los VPN de las Alternativas 1 y 2.

Notar que el conjunto de las soluciones factibles es finito. Esto ocurrirá generalmente con los problemas de Programación Entera (puros). En el ejemplo, el número de soluciones factibles no supera el número de las soluciones binarias del problema (variables restringidas sólo a valores 0 o 1) que son 2^{4}=16, dado el número de variables utilizadas, de hecho las soluciones factibles son menos de 16 pues en particular x_{i}=1 para i=1,2,3,4 no satisface las disponibilidades de capital en cualquiera de las tres alternativas.

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