Problema de Producción de Trajes y Vestidos resuelto con el Método Simplex

La empresa Trajes y Vestidos tiene en un momento dado que tomar una decisión sobre cómo maximizar el ingreso en la confección y venta de un tipo de traje y un tipo de vestido específico, que está teniendo demanda por la clientela. Al momento se tiene 80 yardas de tela de algodón y 120 yardas de tela de lana para la confección de los trajes y de los vestidos. Para la confección del traje se necesita 1 yarda de tela de algodón y 3 yardas de tela de lana. Mientras que para el vestido se necesita 2 yardas de tela de algodón y 2 yardas de tela de lana.

Para tomar la decisión de la mezcla de producto óptima para el Problema de Producción de Trajes y Vestidos, hace 3 tipos de escenarios:

  1. Cuando ambas confecciones tienen un precio unitario de $30.
  2. Cuando los trajes valen $40 y los vestidos $20.
  3. Cuando los trajes valen $30 y los vestidos $20.

¿Cuántos vestidos y trajes hay que hacer para maximizar los ingresos?. Esto es, ¿con cuál mezcla de productos se maximiza los ingresos?. Resuelva el problema de Programación Lineal utilizando el Método Simplex.

Sea x_{1} la cantidad de trajes a fabricar y x_{2} la cantidad de vestidos a fabricar, se formulan los siguientes modelos de optimización para los 2 primeros escenarios (notar que por simple inspección se descarta inmediatamente el escenario 3 dado que de todos modos no podrá reportar ingresos mayores que el escenario 1 o 2).

problema-trajes-y-vestidos

En primera instancia resolveremos por el Método Simplex el problema correspondiente al escenario 1. Para ello agregamos las variables de holgura x_{3}, x_{4} para la restricción de disponibilidad de yardas de algodón y disponibilidad de yardas de lana, respectivamente. De esta forma el problema en su forma estándar es:

forma-estandar-escenario-1

El cual da origen a la siguiente tabla inicial del algoritmo:

tabla-inicial-escenario-1

Tanto la variable no básica x_{1} como la variable no básica x_{2} tienen costo reducido negativo de la misma magnitud. En este caso seleccionaremos de forma arbitraria la variable x_{1} como aquella que ingresa a la base. Luego calculamos el cuociente mínimo en dicha columna: Min \begin{Bmatrix}{\frac{80}{1}, \frac{120}{3}}\end{Bmatrix}=40, en consecuencia la variable x_{4} deja la base.

iteracion-1-escenario-1

Ahora ingresa a la base la variable x_{2}. Calculamos nuevamente el criterio de factibilidad o mínimo cuociente en la columna de la variable x_{2} obteniendo: Min \begin{Bmatrix}{\frac{40}{4/3}, \frac{40}{2/3}}\end{Bmatrix}=30 que determina que la variable x_{3} deja la base.

tabla-optima-escenario-1

La solución óptima es x_{1}=20, x_{2}=30 con valor óptimo (ingreso) de $1.500.

A continuación resolvemos el problema del escenario 2. Para ello llevamos el modelo a su forma estándar lo que da origen a la siguiente tabla inicial del Método Simplex:

problema-escenario-2

Naturalmente la variable no básica x_{1} ingresa a la base al tener ésta el costo reducido más negativo. Por otra parte la variable que deja la base de obtiene de Min \begin{Bmatrix}{\frac{80}{1}, \frac{120}{3}}\end{Bmatrix}=40, por tanto x_{4} deja la base y se actualiza la tabla.

tabla-optima-escenario-2

Notar que estamos frente a la tabla óptima del segundo escenario donde la política de producción de trajes y vestidos que maximiza los ingresos es x_{1}=40, x_{2}=0 con valor óptimo (ingreso) de $1.600. En consecuencia se propone implementar la solución del escenario 2 que desde el punto de vista de los ingresos es la que logra una mayor recaudación dado los datos del problema.

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