Cómo calcular la Probabilidad de producir un Producto Defectuoso (Control Estadístico de Procesos)

El siguiente artículo aborda a través de un sencillo ejemplo la estimación de la probabilidad de producir un producto defectuoso en el contexto del Control Estadístico de Procesos (CEP). Consideremos una empresa de manufactura que desea determinar si una máquina que tiene es capaz de fresar la pieza de un motor que tiene una especificación clave de  4 ± 0.003 pulgadas. Después de probar esta máquina, la empresa determinó que tiene una media muestral de 4.001 pulgadas con una desviación estándar de 0.002 pulgadas. Asumiendo que el proceso en cuestión se encuentra bajo control estadístico, calcule Cpk para esta máquina:

ejemplo-calculo-cpk

¿Cuál es la probabilidad de producir un defecto?. Un producto defectuoso será aquel que se encuentre en una dimensión bajo el LEI (3,997) o sobre el LES (4,003).

calculo-zlei-y-zles

Probabilidad de Defectuoso = P(X<LEI) + P(X>LES) = (1 – 0,9773) + (1 – 0,8413) = 18,14%.

Una forma alternativa de abordar el procedimiento anterior es haciendo uso de la interfaz de cálculos de probabilidad disponible en el software Geogebra. En la siguiente imagen el área achurada en color azul representa la probabilidad de que un producto no sea defectuoso (81,86%), por tanto por diferencia se obtiene la probabilidad de defectuoso (100% – 81,86% = 18,14%) que corrobora el resultado obtenido anteriormente.

probabilidad-defectuoso-geo

¿Recomendaría a la empresa utilizar esta máquina para producir esta pieza?. No. Cpk indica que el promedio muestral está descentrado, en particular, más cerca del LES. Si bien es difícil encontrar un proceso perfectamente centrado en el valor nominal de la especificación, en este caso esta situación no se compensa con una baja variabilidad del proceso (se propone al lector corroborar que Cp=0,5 lo cual confirma el análisis anterior). Adicionalmente la probabilidad de producir un defecto (18,14%) es inadmisible es un contexto competitivo.

Cálculo de Índice de Habilidad Cp e Índice de Capacidad Cpk en el Control Estadístico de Procesos

Al planear los aspectos de calidad de la manufactura, nada es más importante que asegurarse de antemano de que el proceso productivo será capaz de mantener las tolerancias. La habilidad del proceso proporciona una predicción cuantitativa de qué tan adecuado es un proceso. La habilidad del proceso es la variación medida, inherente del producto que se obtiene en ese proceso. En este contexto, la habilidad permite entre otras cosas establecer limites de especificación realistas.

La fórmula para el cálculo de la habilidad del proceso que más se usa es: Habilidad del Proceso = +- 3σ (un total de 6σ) donde σ es la desviación estándar del proceso cuando se encuentra bajo control estadístico. Adicionalmente si el proceso esta centrado en la especificación nominal y sigue una distribución de probabilidad normal, 99,73% de la producción estará a menos de de la especificación nominal.

En este contexto la tasa de habilidad de un proceso Cp se refiere a la variación en un proceso alrededor del valor promedio, obteniéndose a través de la siguiente fórmula (notar que se usa 6S como estimación de ):

formula-cp

Un proceso que cumple bien con los límites de especificación (rango de especificación = +- 3σ) tiene un Cp=1. Lo crítico de muchas aplicaciones y la realidad de que el promedio del proceso no permanecerá en el punto medio del rango de especificación sugiere que Cp debe ser al menos 1,33.

En este contexto es útil tener un índice de habilidad que refleje ambas variaciones y la localización del promedio del proceso. Tal índice es Cpk o índice de capacidad del proceso, el cual refleja la proximidad de la media actual del proceso al Límite de Especificación Superior (LES) o al Límite de Especificación Inferior (LEI).

formula-cpk

Si el promedio actual es igual al punto medio del rango de especificación, entonces Cpk=Cp.

Adicionalmente si un proceso se encuentra en control estadístico, la siguiente relación se cumple para usar S como una estimación de σ (desviación estándar):

formula-s-control-estadisti

A continuación se presenta el calculo de los índices Cp y Cpk aplicado a los datos del ejemplo de las Gráficas de Promedios y Rangos en el Control Estadístico de Procesos. El resumen de los datos se observa en la siguiente tabla:

calculo-promedio-y-rango

Luego se procede a la estimación de S (recordar que cada muestra tiene 4 observaciones, en consecuencia n=4 y d2=2,059).
calculo-s-control-estadisti

Notar que el parámetro d2=2,059 se puede obtener de la siguiente tabla:

constantes para gráficas de control

El cálculo de Cp y Cpk esta dado por:

calculo-cp-y-cpk-control-es

La media del proceso (999,6 OHMS) se encuentra prácticamente centrada respecto a la especificación nominal (1.000 OHMS). Esto se corrobora en la similitud de los indicadores Cp y Cpk. No obstante lo anterior  la habilidad del proceso es relativamente baja (se recomienda al menos Cp≥1,33) lo que permite anticipar que un porcentaje significativo de resistores podrían estar fuera de los límites de especificación.

Existen un importante número de herramientas que permiten el cálculo sencillo de estos indicadores de desempeño. Al respecto recomendamos a nuestros usuarios leer el artículo Cómo Calcular Cp y Cpk con el Complemento SPC for Excel que muestra cómo utilizar el complemento SPC de Excel para simplificar este tipo de operaciones.

Ejemplo de Gráfica de Promedios y Gráfica de Rangos en el Control Estadístico de Procesos

El Control Estadístico de Procesos (CEP) es una metodología que da la confianza estadística de que un componente está dentro de una tolerancia sin tener la necesidad de medir cada componente. Como su nombre lo sugiere es un control del proceso (no del producto) y es un indicador más que una solución. En este contexto la importancia del Control Estadístico de Procesos radica en los siguientes aspectos:

  1. Se utiliza como apoyo al proceso de Control de Gestión.
  2. Consiste en la aplicación de métodos estadísticos a la medición y análisis de la variación en cualquier proceso.
  3. Permite diagnosticar el estado del proceso: Se dice que el proceso está bajo control estadístico (estable) si no presenta señales de que existe alguna causa asignable de variación y en consecuencia representa un proceso predecible. Una causa asignable es detectable y posible de eliminar con una justificación económica.

Las principales herramientas del Control Estadístico de Procesos lo constituyen las cartas de control (de promedios y rangos), las cuales se aplican en el monitoreo de las características de calidad de un producto y detecta cuando el proceso esta fuera de control. A continuación presentaremos un ejemplo que permite la evaluación de si un proceso se encuentra bajo control estadístico mediante la elaboración e interpretación de las gráficas de control de promedios y rangos.

Gráfica de Promedios y Gráfica de Rangos

Una máquina automatizada a alta velocidad fabrica resistores para circuitos electrónicos. La máquina está programada para producir un lote muy numeroso de resistores de 1000 OHMS cada uno, siendo éste el valor ideal para cada resistor y admitiéndose una variación sobre dicho valor de ± 25 OHMS.

Con el fin de ajustar la máquina y crear una gráfica de control para utilizarla a lo largo de todo el proceso, se tomaron 15 muestras con cuatro resistores cada una. La lista completa de muestras y sus valores medidos es la siguiente:

tabla-datos-control-estadis

¿Se encuentran el proceso bajo control estadístico?. Grafique los datos en una gráfica de control de promedio (X) y de rango (R) con los limites de control. Para el cálculo del promedio muestral considere los resultados aproximados a un decimal. Comente e interprete los resultados.

En primer lugar necesitamos calcular los límites de control estadístico para las gráficas de promedio y rango. Para ello se deben considerar las siguientes fórmulas y parámetros:

formulas-limites-de-control
tabla-parametros-control-es

Con esta información procedemos a calcular el promedio y rango de cada una de las 15 muestras. Por ejemplo el promedio de la muestra 1 se obtiene de X1=(1010+991+985+986)/4=993 y el rango R1=1010-985=25 (la diferencia en magnitud de la mayor y menor observación de la muestra). Se replica el procedimiento para el resto de las muestras lo cual se facilita haciendo uso de una planilla Excel según se observa a continuación:

calculo-promedio-y-rango

Finalmente se obtienen los límites de control estadístico los cuales se resumen en la siguiente tabla:

calculo-limites-de-control-

A continuación se grafican los resultados de cada una de las muestras (celdas color amarillo de la planilla anterior) en contrastes con los límites de control.

grafica-promedios-control-e
grafica-rangos-control-esta

  • El proceso se encuentra bajo control estadístico. Tanto en la gráfica de promedios y rangos los resultados de las muestras están dentro de los límites de control. Recomendamos a nuestros usuarios revisar el artículo Gráfico de Promedios y Gráfico de Rangos en el Control Estadístico de Procesos con Minitab 17.

  • En la gráfica de promedios se observa una dispersión aleatoria respecto a la media del proceso aun cuando llama la atención de la media de las muestras 4 y 5.

  • En la gráfica de rangos se observa un leve tendencia creciente a contar de la muestra 9. Si bien las observaciones se mantienen dentro de los límites de control, esta situación se debe tener bajo alerta dado que muestra un aumento en la variabilidad.