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Cómo determinar la Duración Óptima de un Proyecto a través del Análisis de Crashing

La Programación Lineal como hemos analizado anteriormente provee una forma eficiente para enfrentar el problema de cómo reducir la duración de un proyecto de la forma más económica posible (Análisis de Crashing) en el contexto de la aplicación del Método de Ruta Crítica (CPM) para la gestión de proyectos. Adicionalmente en algunas situaciones se suele enfrentar costos de penalización en la medida que el proyecto se entregue más tarde de lo comprometido o estimado, como también incentivos por entregas anticipadas que no vayan en desmedro de la calidad del proyecto.

Consideremos el siguiente ejemplo para el cálculo de la Duración Óptima de un Proyecto (el tiempo está medido en días y el costo en dólares):

Por ejemplo la Actividad F tiene una duración normal de 4 días a un costo de 600 dólares y se puede comenzar una vez terminadas las Actividades B y E (predecesores). Si se desea apurar (hacer «crash») en la Actividad F, el menor tiempo que se puede adoptar es de 2 días (es decir, la reducción máxima es 2 días), donde por cada día que se reduce la duración de dicha actividad se incurre en un costo adicional de 175 dólares. De esta forma, por ejemplo, si se quisiera reducir la duración de la Actividad F de 4 a 3 días, el costo sería de 775 dólares (600+175).

Asuma que la fecha de entrega del proyecto es el día 10. La compañía debe pagar 170 dólares por cada día de atraso. Encuentre el número óptimo de días que debe durar el proyecto a través del análisis de crashing y el costo total del proyecto (incluyendo posibles multas por atraso).

Indique claramente las actividades donde realice crashing. Dibuje el diagrama del proyecto de la alternativa que se propone (el proyecto con el costo más bajo), representando el nombre de cada actividad al interior de los respectivos nodos. Para cada actividad calcule los siguientes indicadores: IC, TC, IL, TL. Luego obtenga explícitamente la holgura de cada actividad y la(s) ruta(s) crítica(s) del proyecto.

A continuación se define un modelo de optimización lineal propuesto para abordar el problema:

Variables de Decisión:

Parámetros:

Función Objetivo: Consiste en minimizar el costo de terminar el proyecto en K días, donde 3.175 corresponde al costo en dólares de desarrollar el proyecto con las actividades en tiempo normal y la expresión en la sumatoria es el costo incremental de disminuir la duración del proyecto.

Restricciones:

Cada actividad se puede reducir (de ser posible) dentro del límite máximo de reducción permisible:

Relaciones de predecesores entre las actividades y el tiempo de inicio y reducción:

Definición del tiempo objetivo para el proyecto:

No negatividad de las variables de decisión:

Una vez definido el modelo de Programación Lineal se implementa computacionalmente haciendo uso de Solver de Excel. Para ello será necesario sensibilizar los resultados del modelo para valores del parámetro K en el intervalo de [10,15] días (el lector puede corroborar que la duración del proyecto si cada actividad mantiene su duración normal es de 15 días). La solución óptima se resume a continuación:

El tiempo óptimo para completar el proyecto corresponde a 12 días, con un costo total (incurriendo multas por atraso) de 3.890 dólares. El gráfico a continuación muestra el valor de la función objetivo (costo total) para distintos valores de duración del proyecto.

A continuación desarrollamos el diagrama del proyecto donde se observa que existen 2 rutas críticas: A-B-F y A-C-E-F, con una duración de 12 días. Notar que la única actividad que no es crítica con holgura positiva (de 1 día) es la Actividad D.

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[sociallocker]Crashing Óptimo[/sociallocker]

Formulación y Resolución de un Modelo de Programación Lineal para reducir la duración de un Proyecto (Crashing)

En la Gestión de Proyectos uno de los aspectos claves es determinar los costos asociados a terminar el proyecto en un tiempo determinado. Del mismo modo, resulta de particular interés poder enfrentar de forma eficiente el problema de cómo reducir la duración del mismo de la forma más económica posible, partiendo de la premisa que ciertas actividades eventualmente se podrían desarrollar en un tiempo menor al estimado inicialmente luego de asignar una mayor cantidad de recursos. En este contexto el siguiente artículo aborda la problemática anterior a través de la formulación y resolución computacional de un modelo de optimización lineal.

Consideremos el siguiente proyecto que consta de 12 tareas estrictamente necesarias, donde la relación de predecesores, tiempos (en semanas) y costos se resume en la tabla a continuación:

Por ejemplo la actividad I tiene puede comenzar una vez completadas las actividades F y H y su tiempo estimado es de 1,5 semanas con un costo normal de $75. Sin embargo la actividad I se puede apurar (lo que comúnmente se conoce como «crash» o «crashing») de modo que su duración pueda ser de 0,5 semanas pero con un costo mayor de $135. En consecuencia la máxima reducción permisible para dicha tarea es de 1 semana (1,5 – 0,5 semanas) con un costo adicional de $60. Asumiremos adicionalmente que existe proporcionalidad entre el tiempo de reducción y el costo adicional, por ejemplo, si quisiéramos reducir la actividad I en 0,5 semanas (es decir, pasar de 1,5 a 1,0 semanas) el costo de la actividad sería $105 ($75+0,5*$60) y el costo adicional (sobre el costo normal) es de $30.

A continuación determinamos la duración del proyecto utilizando el Método de Ruta Crítica (CPM), considerando los tiempos normales estimados para cada actividad.

El proyecto tiene una duración estimada de 15,5 semanas y existe una única ruta crítica: A-B-D-G-H-I-K-L (notar que todas las actividades en esta ruta tienen holgura igual a cero). El costo del proyecto es de $2.620 y se obtiene simplemente sumando los costos normales de cada una de las actividades. La notación que hemos utilizado es:

Donde IC: Inicio más Cercano; TC: Término más Cercano; IL: Inicio más Lejano; TL: Término más Lejano; TN: Tiempo Normal, HOLG: Holgura. De esta forma, por ejemplo, la actividad I tiene un tiempo normal de 1,5 semanas y holgura igual a cero, es decir, si se retrasa esta actividad el proyecto también se retrasará.

En este contexto, el siguiente modelo de Programación Lineal permite abordar de forma óptima el problema de cómo reducir la duración del proyecto de la forma más económica posible, mediante la reducción del tiempo de las actividades (en particular de las actividades pertenecientes a la(s) ruta(s) crítica(s)). Cabe destacar que en la actualidad existen softwares que facilita este tipo de procedimientos (Crashing) como por ejemplo WINQSB.

Variables de Decisión:

Parámetros:

Función Objetivo: Se buscar minimizar el costo adicional asociado al proyecto luego de hacer el «crashing» necesario para completar el proyecto en un tiempo determinado. Notar que podríamos agregar en la función objetivo como constante el costo normal del proyecto ($2.620) en donde en dicho caso la interpretación del valor óptimo sería el costo total del proyecto que tiene duración de K semanas.

Restricciones:

Cada actividad se puede reducir (de ser posible) dentro del límite máximo de reducción permisible:

Relaciones de predecesores entre las actividades y el tiempo de inicio y reducción:

Por ejemplo en conjunto las inecuaciones (3) y (4) representan que la semana de inicio para la actividad D será mayor o igual a la semana de término (luego de una eventual reducción) de la que termine más tarde entre sus actividades predecesoras (B y C). Adicionalmente hemos definido una actividad «ficticia» o de término llamada «M» la cual tiene como predecesoras a aquellas actividades que terminan una ruta para el proyecto (no necesariamente crítica) y nos permitirá estimar la duración del proyecto.

Definición del tiempo objetivo para el proyecto:

En la resolución computacional con Solver de Excel se puede simular para distintos valores del parámetro K de modo de ver cómo cambian los resultados. La mínima duración del proyecto estará dada por el menor valor de K que permite generar una instancia factible para el modelo de optimización.

No negatividad de las variables de decisión:

Los resultados se muestran en la tabla a continuación donde la mínima duración del proyecto corresponde a 8,5 semanas con un costo total de $3.295 ($675 adicional al costo normal del proyecto). En las celdas color amarillo (variables de decisión) se puede apreciar la solución óptima donde queda explícito cuándo comienza la actividad y cuánto se reduce respecto a su tiempo normal. Por ejemplo la actividad G comienza al cabo de 2,5 semanas (a contar del inicio del proyecto) y su duración normal se reduce en 1,5 semanas (es decir pasamos de un tiempo normal de 3 a 1,5 semanas).

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Cómo reducir la duración de un Proyecto (Crashing) con WINQSB

Un aspecto relevante en todo Proyecto es lograr estimar el tiempo necesario para completar las distintas actividades que lo conforman. En artículos anteriores hemos analizado el Método de Ruta Crítica (CPM) y la Metodología PERT, asumiendo tiempos de actividades deterministas (fijos) y aleatorios (probabilísticos), respectivamente.

En esta oportunidad consideraremos un Proyecto que consta de 7 actividades y que en condiciones de tiempo normal tiene por Ruta Crítica a las actividades A-D-G con una duración total de 12 semanas:

La tabla anterior incluye adicionalmente información sobre el costo normal de desarrollar las actividades en condiciones de tiempo normal y el tiempo crash que consiste el menor tiempo en el que se podría llevar a cabo la actividad en caso que se «apure».

En muchos proyectos existen actividades que podrían demorar menos si se invirtiera más recursos en ellas (costo crash), sin embargo, hay actividades que no son factibles de acortar (por ejemplo, podría ser el tiempo requerido para obtener un permiso por parte de una oficina del gobierno central, asunto que esta fuera del alcance del gerente del proyecto).

Por ejemplo, si quisiéramos reducir el tiempo de la actividad A de 3 a 2 semanas el costo incremental es de $100. Análogamente el costo de reducir el tiempo de la actividad B en 1 semana sería de $250 (se asume proporcionalidad).

El costo actual del proyecto es de $3.700 (suma de los valores de la columna «Costo Normal») para un tiempo estimado de 12 semanas (A-D-G Ruta Crítica).

Si queremos que el proyecto se demore menos de 12 semanas debemos estar dispuestos a asumir un costo monetario mayor. En este contexto el Análisis de Crashing (reducir la duración de un proyecto a un costo eficiente) resulta vital.

El siguiente tutorial muestra cómo reducir la duración de un proyecto utilizando el software WINQSB:

El menor tiempo en el cual se puede desarrollar el proyecto es 9 semanas con un costo total de $4.450. Para ello se reduce el tiempo de las actividades A y B en 1 semana y D en 2 semanas. Las Rutas Críticas ahora son: A-F ; A-D-G; B-G todas con 9 semanas según se muestra en el siguiente informe de WINQSB:

Es importante destacar que NO se puede seguir reduciendo la duración del proyecto aún cuando algunas actividades aún son factibles de apurar. Esto se justifica en general porque al menos una Ruta Crítica no se puede reducir y en dicho caso no tiene sentido destinar más recursos si esto no se verá reflejado en la duración total del proyecto. Por ejemplo, aún podemos reducir la duración de B de 5 a 4 semanas, sin embargo, la duración de la ruta A-D-G no se puede seguir reduciendo.

Importante: Recomendamos revisar el artículo Formulación y Resolución de un Modelo de Programación Lineal para reducir la duración de un Proyecto (Crashing) que detalla cómo a través de un modelo de optimización encontrar aquellas actividades que deben reducir su duración de modo de desarrollar el proyecto en el menor costo posible (dado un tiempo objetivo). En este contexto un artículo complementario es Cómo determinar la Duración Óptima de un Proyecto a través del Análisis de Crashing.