Preguntas Frecuentes de Cadenas de Markov

Una Cadena de Markov en tiempo discreto consiste en una clase particular de un proceso estocástico donde se verifica el cumplimiento de la propiedad markoviana (en términos simples establece que el futuro es independiente del pasado dado el presente) y la propiedad estacionaria (la probabilidad de transición de un estado i a un estado j al cabo de una etapa no depende de la etapa n). En este contexto a continuación presentamos 3 preguntas de selección múltiple que permite reforzar algunos conceptos básicos sobre las Cadenas de Markov.

Pregunta N°1: En la matriz de probabilidades de transición:

a) La suma de cada columna debe ser igual a 1
b) La suma de cada columna y cada fila debe ser igual a 1
c) Por lo menos debe haber un 0 en cada fila
d) La suma de cada fila debe ser igual a 1
e) Por lo menos debe haber un 0 en cada columna

Respuesta: Alternativa d). La matriz de probabilidades de transición o matriz P resume las probabilidad de transición en una etapa de un estado i a un estado j. La matriz P tiene la misma cantidad de filas y columnas. Por ejemplo a continuación de presenta la matriz de transición que corresponde a uno de los casos discutidos en el artículo Cadenas de Markov (Ejercicios Resueltos) donde se corrobora que la sumatoria de los valores de cada fila corresponde a un 100%.

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Pregunta N°2: Si la distribución de probabilidad de la variable X_{n} no cambia de una etapa a otra:

a) Cada probabilidad debe ser igual a 1
b) Debe haber al menos una probabilidad igual a 0
c) La probabilidad debe ser la misma para cada estado
d) Dicha distribución coincide con la distribución estacionaria
e) Debe haber al menos una probabilidad igual a 1

Respuesta: Alternativa d). En este caso estamos frente a la distribución estacionaria o de largo plazo la cual como hemos discutido previamente es independiente de la distribución inicial para la variable aleatoria. Antecedentes adicionales y un ejemplo con el detalle del cálculo se puede consultar en Distribución Límite de una Cadena de Markov en Tiempo Discreto.

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Pregunta N°3: Cuál de las siguientes alternativas no es un supuesto de las cadenas de Markov:

a) Existe un número finito de estados
b) Existe un número finito de etapas
c) Las probabilidades de la variable de estado X_{n} se pueden calcular usando únicamente la matriz de probabilidades de transición
d) La distribución de probabilidades de una etapa no cambia de una etapa a la otra
e) Todas la anteriores no son supuestos del análisis

Respuesta: Alternativa e). Se descarta a) y b) debido a que puede existir un número infinito de estados y etapas. En cuanto a las probabilidades de la variable de estado X_{n}, se requiere conocer una distribución de estado actual o inicial para que luego, haciendo uso de las ecuaciones matriciales se pueda estimar las probabilidades de estado.

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Preguntas Frecuentes (Procesos): Capacidad, Tiempo de Flujo, Tiempo de Ciclo

Para desarrollar un análisis cuantitativo de procesos productivos (proceso de transformación de insumos en productos o servicios) generalmente se hace referencia a indicadores de gestión que permiten evaluar el desempeño y eficiencia de dicho proceso en el tiempo. Algunos de los indicadores más utilizados son capacidad, tiempo de flujo y tiempo de ciclo. A continuación los definimos brevemente para luego aplicarlos a un ejemplo tipo:

  • Capacidad de un Proceso: corresponde a la tasa máxima de producción, es decir, cuántas unidades en un intervalo de tiempo un proceso (sistema) puede producir.

  • Tiempo de Flujo: es el tiempo de producción, es decir, es el tiempo mínimo total que una unidad se demora en pasar por el sistema.

  • Tiempo de Ciclo: es el tiempo promedio entre la producción de dos unidades consecutivas.

A continuación presentaremos un proceso de producción sencillo de fabricación de muebles.

Proceso Paralelo

Las siguientes preguntas frecuentes nos permitirán entender mejor los conceptos relacionados con los procesos productivos:

1. ¿Si se dobla la capacidad de la actividad cuello de botella entonces se doblará la capacidad del proceso?.

Falso. Esto no es cierto en todos los casos. En nuestro ejemplo la actividad cuello de botella es Pintar y su capacidad es de 10[u/hora] (recordar que la capacidad conjunto de las etapas Ensamblar es de 13,5[u/hora]). Si doblamos la capacidad de Pintar su nueva capacidad será ahora 20[u/hora] y ahora el cuello de botella es Pulir. La nueva capacidad del proceso es de 12[u/hora] lo que no es el doble de la capacidad original.

2. ¿En una hora de trabajo se producirán exactamente las unidades que indica la capacidad del proceso?.

Falso. De otra forma en la primera hora de trabajo no se alcanzan a producir las 10[u/hora] que indica la capacidad del proceso. ¿Por qué?. La razón es que la(s) primera(s) unidad(es) se demoran más que las unidades cuando el proceso se encuentra estabilizado. Por ejemplo, la primera unidad sale del sistema a los 19[min] (tiempo de flujo), la segunda unidad sale a los 26[min] (7 minutos después de la primera), la tercera, cuarta, quinta, etc, unidades salen cada 6[min] (tiempo de ciclo) lo que permite anticipar que las unidades que sigan saldrán en promedio cada 6[min]. La Carta Gantt a continuación permite visualizar el proceso en su primera hora donde queda de manifiesto que no se alcanzan a procesar en forma completa las 10 unidades.

Carta Gantt Proceso

3. ¿Cómo determinar entonces cuántas unidades completas se alcanzan a procesar en la primera hora de trabajo?.

Para ello utilizamos la siguiente fórmula:

T(N)=TF+(1/Cap)*(N-1)

En nuestro ejemplo: 60[min]=19[min]+6[min/u]*(N-1) ==> N=7,833[u] ~ 7[u]

Es decir, se alcanzan a producir en forma completa 7 unidades en la primera hora. Notar que esto no contradice la capacidad del proceso. Si tomamos un horizonte de tiempo más amplio (2 horas, 3 horas, etc) la cantidad de unidades que se puedan procesar en promedio en una hora convergerá a la capacidad del proceso que es de 10[u/hora]. El motivo de lo anterior es que cada vez el efecto de las primeras unidades (hasta la estabilización del proceso) es menor.