Ejemplo Cálculo del Nivel de Servicio Instock: Un vendedor de flores tiene que decidir todas las noches cuántas flores va a llevar de su plantación a su local comercial para vender al día siguiente. La demanda por flores es estocástica y por experiencia estima que sigue una distribución exponencial con parámetro λ=0,015. El costo por flor para el vendedor es de $6 y las flores no vendidas son consignadas a $2 a un vendedor de flores secas (esto último se considera un valor de rescate o salvage value). Además se estima que el costo por cliente perdido es de $11.
En base a los antecedentes anteriores la cantidad óptima de pedido que sugiere el Modelo Newsvendor está dada por:
El nivel de servicio Instock asociado a un pedido de 54 unidades es:
Que como se aprecia corresponde a la integral definida entre 0 y 54 unidades de la función de densidad de probabilidad exponencial con parámetro λ=0,015. El resultado anterior se puede corroborar haciendo uso del software Geogebra:
De forma análoga, simplemente basta evaluar el tamaño del pedido de 54 unidades en la función de distribución exponencial para evitar el cálculo de la integral definida presentada anteriormente. En efecto:
El siguiente diagrama obtenido con el complemento StatAssist (parte de Easyfit) da cuenta de lo anterior, donde se modela una distribución exponencial (acumulada o F) con parámetro λ=0,015 y donde para un valor de x de 54 unidades F(x) es aproximadamente un 55,51%. (se puede corroborar con la fórmula de Excel =ExpCdf(54;0,015)).
En general la Gestión de Inventarios de productos perecibles enfrenta desafíos mayores en comparación a la determinación de tamaños de lotes de aquellos productos de ciclo de vida largo donde los productos se desvalorizan de forma más lenta y adicionalmente existe más de una oportunidad de venta. En este contexto el análisis marginal es una alternativa metodológica para enfrentar los problemas de determinación de tamaño de lote de producción o compra, bajo un contexto de incertidumbre (demanda incierta) donde existe una oportunidad única de orden o producción.
Si un producto es perecible (notar que bajo esta clasificación no sólo debemos considerar productos alimenticios) y la demanda excede la cantidad ordenada, entonces se pierde venta (lo que genera costos de quiebres de stock, los cuales son complejos de estimar según lo analizado en la clasificación de los costos de inventario). Por el contrario, si la demanda es menor que la cantidad ordenada entonces sobra inventario el cual puede o no tener un uso alternativo, no obstante por lo general el valor monetario que se logra rescatar de su uso alternativo no logra cubrir la totalidad del costo de compra o fabricación.
El análisis marginal enfrentar el problema de determinación de tamaño de lote de compra o producción de aquellos productos perecibles. Se enfoca en analizar lo que ocurre con el artículo a vender que tiene peor margen, y asegurar que este margen sea positivo. Si se venden “k” items, nos preocupa analizar el margen esperado (en probabilidad) del k-ésimo artículo en venderse. Si D representa la demanda (variable aleatoria) de un producto perecible, ¿cuál es la probabilidad de vender la k-ésima unidad del inventario?:
La probabilidad de que la demanda total sea por lo menos k unidades!. Luego, la probabilidad de NO vender la k-ésima unidad es:
El margen esperado de la k-ésima unidad queda descrito por:
Notar que la ganancia esperada es decreciente en la medida que aumenta el tamaño de pedido.
En consecuencia, queremos encontrar el mayor valor de k tal que esta cantidad sea no negativa. Esto equivale a encontrar el mayor k tal que:
Ejemplo Análisis Marginal en la Gestión de Inventarios
Un retailer especialista en artículos de moda debe decidir cuántas cajas de vestidos de la línea “Sass” pedir para la próxima temporada. Esta línea de vestidos es sumamente exclusiva y elaborada manualmente en Italia. Ya que se trata de un producto nuevo y altamente costoso, el Product Manager encargado de la compra pide ayuda a cinco expertos de la empresa. Juntos ellos pronostican que la demanda seguirá una distribución normal con media 10 cajas y desviación estándar igual a 2 cajas.
La ganancia por cada vestido vendido es de 24% del costo. Si no se vende un vestido, este debe ser liquidado, en cuál caso sólo se recupera el 64% del costo. Utilice el pronóstico de los expertos para modelar la demanda con una distribución normal, y determine la cantidad de cajas que debiera pedir el retailer a fin de maximizar sus ganancias. Indique el nivel de servicio instock que se ofrecerá a los clientes producto de esta estrategia. En su análisis suponga que es posible comprar (y vender) fracciones de cajas.
El nivel de servicio instock es de un 40%. El tamaño óptimo de pedido (aproximado luego de ajustar el valor de Z(40%)) según el análisis marginal es:
Notar que el tamaño óptimo de pedido calculado anteriormente se puede corroborar haciendo uso del software Geogebra, donde luego de seleccionar la función de probabilidad teórica que representa el comportamiento de la demanda, se ingresan sus parámetros y el nivel de servicio (instock) objetivo.
Otra alternativa es obtener Z(40%) haciendo uso de Excel. Para ello utilizamos la fórmula =DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,4) según se muestra en la siguiente imagen:
El manejo de inventarios implica equilibrar la disponibilidad del producto (servicio al cliente) con los costos de suministrar un nivel determinado de disponibilidad del producto. En este contexto se busca minimizar los costos relacionados con el inventario para cada nivel de servicio. El propósito del análisis de inventarios en organizaciones manufactureras y de servicio es especificar cuándo se deben pedir los artículos y el tamaño o cuánto solicitar en cada pedido.
Luego resulta natural que para tomar cualquier decisión que afecte el tamaño del inventario se deben tomar en cuenta los costos asociados a su gestión. El siguiente diagrama representa dichos costos de una forma esquemática, agrupando éstos en costos de hacer un pedido, costos de mantener el inventario y costos de falta de existencias:
Costos de Inventario
1. Costos de hacer un pedido: Conocido también como costo de emisión de pedido. Son aquellos costos asociados con la adquisición de bienes para el reaprovisionamiento del inventario. Cuando se emite un pedido se incurre en costos asociados con el procedimiento, ejecución, transmisión, manejo y compra del pedido.
Los costos de hacer un pedido, en una empresa de comercio detallista (retail) o empresa se servicios, pueden incluir:
el costo de procesar un pedido a través de los departamentos de contabilidad y compras.
el costo de transmitir el pedido al punto de suministro.
el costo de transportar el pedido cuando los cargos de transporte no están incluidos en el precio de los artículos comprados.
el costo de cualquier manejo o procesamiento de materiales de los artículos en el punto de recepción.
Por ejemplo en el modelo de Cantidad Económica de Pedido (EOQ) que considera abastecimiento externo se asume que el costo de emisión de pedido es fijo e independiente del tamaño del pedido.
Por otra parte cuando la empresa se auto suministra sus propios inventarios de artículos terminados (empresa manufacturera), como en el caso de reabastecimiento de una fábrica, los costos de hacer el pedido se alteran para reproducir los costos de ejecución de la producción (como sucede en el modelo de POQ). En este caso los costos de hacer un pedido pueden incluir:
el costo de procesar la orden de trabajo (OT).
el costo de preparación de máquina o proceso.
el costo de producción del producto para varios tamaños de pedido.
2. Costos de mantener el inventario: Son aquellos asociados a guardar artículos durante un período de tiempo y son proporcionales a la cantidad promedio de artículos disponibles. A la vez los costos de mantener inventario se pueden clasificar en:
2.1. Costo de espacio: Son cargos hechos por el uso del volumendentro del edificio o espacio de almacenamiento (bodega). Cuando la bodega es rentada, la renta mensual se distribuye en función del volumen ($/m3/mes). Si el espacio es propio, los costos de espacio se determinan mediante la distribución de los costos de operación relacionados con el espacio, así como los costos fijos, como costos de equipo del edificio y del almacenamiento sobre una base de volumen almacenado.
2.2. Costo de capital: Se refiere al costo de oportunidad en conexión con el inventario. El costo exacto del capital para los propósitos de inventario se ha debatido durante algún tiempo. Muchas empresas usan:
Costo promedio de capital.
Tasa promedio de recuperación requerida de las inversiones de la compañía.
La tasa de rendimiento de las inversiones más lucrativas que la empresa no acepta.
2.3. Costo de seguros e impuestos: Los seguros y los impuestos, dependen de la cantidad de inventario disponible. De forma intuitiva la prima de los seguros a pagar serán mayores en la medida que la cantidad de productos que se almacene en inventario sea mayor.
2.4. Costo de riesgos de inventario: Son aquellos costos relacionados con deterioro, pérdidas, robos, daño, u obsolescencia. Por ejemplo los productos tecnológicos almacenados en inventario en un tienda de departamento se deprecian (en un sentido comercial) rápidamente en la medida que se mantengan un tiempo prolongado en la bodega (debido al desarrollo de la tecnología donde los productos son sustituidos rápidamente por nuevas alternativas con mejores prestaciones y en algunos casos incluso más económicas). En general los costos de riesgo de inventario son particularmente caros en productos que tienen un ciclo de vida corto (por ejemplo en aquellos casos que la decisión del tamaño de pedido involucra un sólo período como el modelo Newsvendor).
3. Costos de falta de existencias: Se incurre en costos por falta de existencias o quiebres de stock cuando se emite un pedido pero este no puede satisfacerse desde el inventario al cual esta normalmente asignado. Dentro de los costos de quiebre de stock se encuentran:
3.1. Costo por pérdida de ventas: Ocurre cuando el cliente, ante una situación de falta de existencias decide cancelar su pedido del producto (el costo es el beneficio que se habría obtenido de esta venta). Este costo es muy difícil de estimar dado que frente a un quiebre de stock no estamos seguros cuántas unidades estaba dispuesto a comprar el cliente y si también la falta de inventario afecto la venta de otros productos. Por ejemplo si una panadería vende toda la producción del día antes de lo estimado, cuando lleguen nuevos clientes preguntando por pan al percatarse que no queda es menos probable que compren productos complementarios (por ejemplo queso). Incluso es más, en un caso extremo el quiebre de stock puede implicar que el cliente no nos prefiera en el futuro y se cambie a la competencia, perdiendo todos los flujos de dinero que representaba ese cliente en el tiempo.
3.2. Costo de pedido pendiente: Ocurre cuando un cliente espera a que su pedido sea surtido, por lo que la venta no esta perdida, sólo retrasada. Los pedidos pendientes pueden crear costos adicionales de personal, ventas, transporte, manejo, etc.
En el contexto del Modelo Newsvendor (modelo de un periodo con demanda estocástica, pero con distribución de probabilidad conocida) el Valor Esperado de la Información Perfecta (VEIP o EVPI: Expected Value of Perfect Information) es un indicador cuantitativo que mide cuán lejos la solución en promedio está de la solución perfecta, es decir, de aquella solución donde se conoce la demanda de antemano. De forma análoga el VEIP corresponde al precio que se estaría dispuesto a pagar de modo de acceder a información perfecta respecto a la realización de la demanda.
Si el valor que adoptará la demanda es conocido con antelación entonces naturalmente el tamaño óptimo de pedido será la magnitud de la demanda y=D (conocida como solución «espere y vea») lo cual permite evitar incurrir en costos asociados a un inventario insuficiente o excesivo. En dicho caso el costo esperado correspondiente será simplemente c*D donde el parámetro c representa el costo unitario de adquisición o fabricación (según sea el caso).
Luego si obtenemos el promedio de todas las realizaciones de la demanda D obtenemos el costo c*µ, donde µ es el promedio de la demanda. En consecuencia, el VEIP corresponderá a la diferencia positiva entre el costo de la solución óptima sin conocer la demanda y el costo de la solución espere y vea.
Valor Esperado de la Información Perfecta
Consideremos el siguiente ejemplo que permite ilustrar el cálculo e interpretación del Valor Esperado de la Información Perfecta (VEIP):
María es un vendedora de flores que tiene que decidir todas las noches cuántas flores va a llevar de su plantación a su local comercial para vender al día siguiente. La demanda por flores es estocástica y por experiencia estima que sigue una distribución exponencial con λ=0,04. El costo por flor para María es de $6 y las flores no vendidas son consignadas (liquidadas) a $2 cada una a un vendedor de flores secas. Además, María estima que el costo por cliente perdido es de $10.
¿Cuál es la cantidad óptima de flores que María debe llevar todos los días desde su plantación a su local comercial si desea minimizar el costo esperado? ¿Cuál es el nivel de servicio instock asociado a esta alternativa?.
La cantidad óptima de pedido en el modelo newsvendor está dada por:
Donde p representa el costo de quiebre de stock (en nuestro ejemplo por cliente perdido), c corresponde al costo de compra o producción y h el valor de consignación (en el ejemplo lo que se podría rescatar por cada unidad que no se logra vender). Considerando dicha información la cantidad óptima de flores que María debe llevar todos los días desde su plantación a su local comercial es:
Es decir, debe llevar diariamente 17 flores. Luego el nivel de servicio instock asociado a un pedido de 17 unidades es:
¿Cuál es el costo total esperado para la cantidad optima de pedido propuesta? ¿Cuál es el Valor Esperado de la Información Perfecta (VEIP)?.
El costo esperado de implementar un pedido de 17 flores es aproximadamente $219,32. A continuación calculamos el VEIP (recordar que en el caso de una distribución exponencial la media se obtiene de µ=1/λ).
Como se señalo anteriormente el VEIP establece el precio máximo que María debería estar dispuesta a pagar de modo de acceder a información perfecta respecto a la realización de la demanda de flores.
En la Gestión de Inventarios resulta como regla general tomar decisiones en un contexto de incertidumbre en el cual no se conoce por anticipado el valor o realización de la variable aleatoria que representa la demanda de un producto.
En este aspecto es importante detenerse un momento dado que según nuestra experiencia docente suele ser una fuente de confusión de los alumnos. Se puede asumir que en base a información histórica se puede construir una demanda empírica que represente razonablemente el comportamiento de la demanda de un producto o incluso buscar su representación a través de una función de probabilidad conocida o demanda teórica (por ejemplo distribución normal, distribución uniforme, distribución gamma y otras utilizadas frecuentemente para fines académicos) para la cual se deberá estimar los mejores valores de los parámetros respectivos (por ejemplo en el caso de seleccionar una distribución normal se deberá estimar los valores de la media µ y la desviación estándar σ).
Para este propósito se puede hacer uso de software estadístico como Easyfit. No obstante, independiente si trabajamos con una distribución empírica o distribución teórica que modele el comportamiento de la demanda, conocer con anticipación el valor que tomará ésta no es posible dado que esto corresponde a la realización de una variable aleatoria.
En el contexto anterior resulta necesario disponer de indicadores de gestión que permitan evaluar el desempeño de una política de mantenimiento de inventario que ayude a los tomadores de decisiones a tomar acciones correctivas de ser necesario.
Para ello presentaremos 2 indicadores frecuentemente utilizados en la actualidad, en particular en la industria de la venta al detalle o comercio minorista, conocida comúnmente como Retail.
Instock: Considerando una demanda aleatoria, y dado una cantidad de inventario Q decimos que su probabilidad de Instock es P[D<=Q].
Fill Rate: Es un indicador de servicio que representa el porcentaje de la demanda que se logra satisfacer. En fórmula:
Ejemplo Instock y Fill Rate
La panadería Bredi es conocida por producir el mejor pan fresco de la ciudad, por eso tiene ventas sustancialmente altas. Los siguientes datos fueron recolectados durante el último año y para cada valor de k en la segunda columna se indican que porcentaje de días del año pasado la demanda fue exactamente k (baguettes):
En base a la demanda esperada, el gerente de la panadería Bredi decide hornear 475 baguettes cada mañana (Q=475). ¿Cuál es el Instock y Fill Rate asociado a este tamaño de lote de producción?. (Es importante verificar que la suma de las probabilidades (días en que la demanda fue exactamente k unidades de producto) es un 100%).
Instock: P[D<=475]=25%+15%+10%+10%=60%, es decir, la probabilidad de que en un día cualquiera se puede satisfacer la demanda de forma íntegra es un 60%. Por ejemplo, si la demanda de un día es de 500 baguettes dado un tamaño de producción de 475 unidades se incurre en un quiebre de stock.
Fill Rate: Las ventas esperadas depende del tamaño de lote de producción (Q). Por ejemplo, si la realización de la variable aleatoria (demanda) resulta ser igual o superior a 475 baguettes, se venderán sólo lo que se produce (Q=475) y el remanente se considera como venta perdida.
En cuanto a la demanda esperada, ésta es independiente de Q por tanto corresponde simplemente a ponderar los distintos valores de k por la probabilidad de ocurrencia del escenario respectivo. En consecuencia en el ejemplo:
Lo anterior permite corroborar un resultado que se puede generalizar: Instock <= Fill Rate
Conclusiones: Naturalmente al aumentar el tamaño de Q se incrementa tanto el Instock como el Fill Rate, no obstante, esta decisión no necesariamente es la recomendable dado que aumenta la probabilidad de quedar con stock al final del día (el cual en el ejemplo podría no tener uso alternativo en caso que se decida botar el pan que sobre o podría venderse como pan frío al día siguiente obteniendo usualmente una fracción del costo de fabricación).
Este tipo de escenarios es al que usualmente los tomadores de decisiones se ven enfrentado en problemas de ciclo de vida corto (Modelo Newsvendor) ante lo cual se necesita disponer de estimaciones adicionales.
