Cálculo de los Beneficios Esperados de un Proyecto utilizando PERT

Un aspecto usual en la Gestión de Proyectos es enfrentar incentivos económicos por entregas anticipadas o a tiempo en base a la planificación preliminar y adicionalmente multas o cargos por entregas atrasadas o tardías. En este contexto el método PERT (Program Evaluation and Review Technique) permite incorporar de forma explícita la incertidumbre asociada a los tiempos requeridos para completar cada una de las actividades de un proyecto.

Beneficios Esperados de un Proyecto utilizando PERT

En el siguiente ejemplo se presenta la situación de un proyecto que consta de 9 actividades, cuyas relaciones de precedencia y tiempos en días (pesimista, más probable y optimista) se resumen a continuación:

tabla-proyecto-pert

Donde N\sim (\mu ,\sigma ^{2}) y los tiempos están en días.

Se desea completar el proyecto al cabo de 40 días a contar del inicio de las actividades. En caso de terminar antes de dicho plazo se estima que se accederá a un incentivo monetario de $200.000, no obstante, en caso contrario se asumirá una pérdida de $15.000 por cada día de atraso con un tope máximo de $30.000 (sobre los beneficios estimados). ¿Cuál es la ruta crítica del proyecto?, ¿Cuáles son los beneficios esperados del proyecto?.

Sabemos que el tiempo esperado para cada actividad se obtiene de Te=\frac{(a+4m+b)}{6}, por ejemplo, Te_{A}=\frac{(6+4*7+8)}{6}=7. Adicionalmente la varianza se obtiene de \sigma ^{2}=\frac{(b-a)^{2}}{36}, por ejemplo, \sigma ^{2}_{A}=\frac{(8-6)^{2}}{36}=\frac{1}{9}\cong 0,111. Con la ayuda de Excel resulta sencillo replicar el procedimiento para el resto de las actividades como se muestra a continuación:

pert-con-tiempo-esperado-y-

Considerando el Tiempo Esperado (Te) para cada una de las actividades generamos un diagrama de proyecto que nos permita identificar la Ruta Crítica y las holguras (en días) para cada una de las actividades. De esta forma se obtiene que A-D-F-H es la ruta crítica del proyecto con un tiempo esperado para completar éste de 39 días.

diagrama-proyecto-pert

Donde los valores con color rojo en la esquina superior izquierda de cada nodo representan el inicio más cercano; los valores con color azul de la esquina superior derecha el término más cercano; los valores de la esquina inferior izquierda con color naranjo el inicio más lejano y finalmente los números con color verde en la esquina inferior derecha representan el término más lejano.

A continuación se requiere estimar la probabilidad de completar el proyecto antes de 40 días, caso en el cual se accede a un beneficio de $200.000.

\mathbb{P}[T<40]=\mathbb{P}[Z_{\alpha }<\frac{40-39}{\sum {\sigma _{RC}}^{2}}]=\frac{40-39}{\sqrt{(\frac{1}{9})+(\frac{4}{9})+(\frac{16}{9})+4}}\cong0,6544

El beneficio esperado en este escenario sería $200.000*0,6544=$130.880.

Por otra parte la probabilidad de que el proyecto demore más de 41 días se obtiene de la siguiente forma:

\mathbb{P}[T>41]=\mathbb{P}[1-Z_{\alpha }<\frac{41-39}{\sum {\sigma _{RC}}^{2}}]=\frac{41-39}{\sqrt{(\frac{1}{9})+(\frac{4}{9})+(\frac{16}{9})+4}}\cong0,2134

Con un beneficio esperado de $170.000*0,2134=$36.278.

Finalmente evaluamos el caso donde el tiempo del proyecto se encuentra en el intervalo entre 40 y 41 días.

\mathbb{P}[T\geq40]+\mathbb{P}[T\leq 41]=0,1322

Siendo el beneficio esperado de este escenario $185.000*0,1322=$24.457.

En consecuencia el beneficio esperado asociado a completar el proyecto es de $191.615 ($130.880+$36.278+$24.457).

Cómo reducir la duración de un Proyecto (Crashing) con WINQSB

Un aspecto relevante en todo Proyecto es lograr estimar el tiempo necesario para completar las distintas actividades que lo conforman. En artículos anteriores hemos analizado el Método de Ruta Crítica (CPM) y la Metodología PERT, asumiendo tiempos de actividades deterministas (fijos) y aleatorios (probabilísticos), respectivamente.

En esta oportunidad consideraremos un Proyecto que consta de 7 actividades y que en condiciones de tiempo normal tiene por Ruta Crítica a las actividades A-D-G con una duración total de 12 semanas:

Tabla Crashing

La tabla anterior incluye adicionalmente información sobre el costo normal de desarrollar las actividades en condiciones de tiempo normal y el tiempo crash que consiste el menor tiempo en el que se podría llevar a cabo la actividad en caso que se «apure».

En muchos proyectos existen actividades que podrían demorar menos si se invirtiera más recursos en ellas (costo crash), sin embargo, hay actividades que no son factibles de acortar (por ejemplo, podría ser el tiempo requerido para obtener un permiso por parte de una oficina del gobierno central, asunto que esta fuera del alcance del gerente del proyecto).

Por ejemplo, si quisiéramos reducir el tiempo de la actividad A de 3 a 2 semanas el costo incremental es de $100. Análogamente el costo de reducir el tiempo de la actividad B en 1 semana sería de $250 (se asume proporcionalidad).

El costo actual del proyecto es de $3.700 (suma de los valores de la columna «Costo Normal») para un tiempo estimado de 12 semanas (A-D-G Ruta Crítica).

Si queremos que el proyecto se demore menos de 12 semanas debemos estar dispuestos a asumir un costo monetario mayor. En este contexto el Análisis de Crashing (reducir la duración de un proyecto a un costo eficiente) resulta vital.

El siguiente tutorial muestra cómo reducir la duración de un proyecto utilizando el software WINQSB:

El menor tiempo en el cual se puede desarrollar el proyecto es 9 semanas con un costo total de $4.450. Para ello se reduce el tiempo de las actividades A y B en 1 semana y D en 2 semanas. Las Rutas Críticas ahora son: A-F ; A-D-G; B-G todas con 9 semanas según se muestra en el siguiente informe de WINQSB:

Resultados Crashing

Es importante destacar que NO se puede seguir reduciendo la duración del proyecto aún cuando algunas actividades aún son factibles de apurar. Esto se justifica en general porque al menos una Ruta Crítica no se puede reducir y en dicho caso no tiene sentido destinar más recursos si esto no se verá reflejado en la duración total del proyecto. Por ejemplo, aún podemos reducir la duración de B de 5 a 4 semanas, sin embargo, la duración de la ruta A-D-G no se puede seguir reduciendo.

Importante: Recomendamos revisar el artículo Formulación y Resolución de un Modelo de Programación Lineal para reducir la duración de un Proyecto (Crashing) que detalla cómo a través de un modelo de optimización encontrar aquellas actividades que deben reducir su duración de modo de desarrollar el proyecto en el menor costo posible (dado un tiempo objetivo). En este contexto un artículo complementario es Cómo determinar la Duración Óptima de un Proyecto a través del Análisis de Crashing.

Probabilidad de terminar un Proyecto en un tiempo determinado con PERT

Cuando se utiliza el método PERT (Program Evaluation and Review Technique) uno de los principales objetivos es considerar la incertidumbre en el tiempo de duración de cada una de las actividades de modo de poder estimar la probabilidad de completar el proyecto en un tiempo determinado. Este tipo de análisis resulta de bastante utilidad en aplicaciones prácticas dado que se entiende que en todo Proyecto existen imprevistos o circunstancias que pueden afectar la duración de una actividad y su impacto se puede traspasar al inicio o termino de otras actividades.

Probabilidad de completar un Proyecto en un tiempo determinado utilizando PERT

Para introducir este concepto consideraremos nuevamente nuestro ejemplo de un proyecto que consta de 9 actividades y que contempla las siguientes secuencias y tiempos estimados para cada uno de sus 3 escenarios:

Tiempo esperado PERT

Luego de obtener la duración del proyecto utilizando la Metodología de PERT y el software WINQSB, se determina que el tiempo estimado para completar el proyecto es de 21,5 semanas y las actividades de la ruta crítica son D-F-G. El paso siguiente es determinar la sumatoria de las varianzas de las actividades que pertenecen a la ruta crítica. La varianza se obtiene como:

Varianza Actividades

Donde b es el tiempo pesimista y a es el tiempo optimista. La siguiente tabla muestra el cálculo de la varianza redondeando a 5 decimales (decisión arbitraria para efectos de desarrollar el ejemplo). Se ha marcado con verde las actividades de la ruta crítica para las cuales en la celda H13 se ha calculado la suma de sus varianzas.

Varianza para PERT

Consideremos ahora que para este proyecto nos interesa calcular la probabilidad de poder terminarlo en 23 semanas o menos. Para ello desarrollamos el siguiente procedimiento que nos indica que dicha probabilidad es un 86,86%:

Probabilidad PERT

Esta probabilidad también se puede obtener con la función de Excel: =DISTR.NORM.ESTAND(1,12)

El siguiente tutorial muestra cómo calcular la probabilidad de terminar el proyecto en 23 semanas o menos utilizando WINQSB. Notar que el resultado es levemente diferente sólo por efecto de aproximación:

Cómo obtener la duración de un Proyecto con PERT y WINQSB

A diferencia del Método de Ruta Crítica o CPM la metodología de PERT (Program Evaluation and Review Technique) considera que el tiempo de duración de las actividades que comprenden un proyecto es estocástico.

Este supuesto implica que para cada actividad tendremos distintos escenarios de ocurrencia sobre el tiempo requerido para llevarla a cabo. Estos escenarios se denominan usualmente como Optimista (a) (el menor tiempo posible), Más Probable (m) y Pesimista (b) (el mayor tiempo en el peor de los casos).

Cada uno de estos escenarios descritos se pondera en 1/6, 2/3 y 1/6, respectivamente para obtener el Tiempo Esperado t_{e} de cada actividad: t_{e}=(1/6*a+2/3*m+1/6*b) y luego obtener el tiempo de duración del proyecto (notar que la suma de las probabilidades de ocurrencia de cada escenario es igual a 1 o un 100%).

Duración de un Proyecto con PERT

En la siguiente tabla se muestra cómo calcular el tiempo esperado para cada actividad de un Proyecto, por ejemplo, el tiempo esperado de la actividad A es de 6 semanas ((1/6)*5+(2/3)*6+(1/6)*7) según se aprecia en la fórmula:

Tiempo esperado PERT

Para poder determinar la duración de un proyecto utilizando PERT consideramos los tiempos esperados para cada actividad y seguimos un procedimiento similar al del Método de la Ruta Crítica o CPM. Otra alternativa equivalente es utilizar un software especializado como WINQSB para obtener la duración del proyecto según se muestra en el siguiente tutorial:

El tiempo estimado para completar el proyecto es de 21,5 semanas y la ruta crítica esta determinada por la secuencia D-F-G. Se puede comprobar que si aplicamos el método de la ruta crítica con los tiempos esperados de cada actividad como tiempo determinista, se obtienen los mismos resultados.

PERT en WINQSB