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Teorema Fundamental de la Programación Lineal

En el siguiente artículo abordaremos a través de una discusión conceptual y ejemplos prácticos y sencillos las propiedades que establece el Teorema Fundamental de la Programación Lineal. Estas propiedades son indispensables tener en consideración al momento de la resolución algorítmica de este tipo de modelos de optimización matemática, destacando entre ellos el Método Simplex como así también la resolución de modelos lineales a través del Método Gráfico.

Teorema Fundamental de la Programación Lineal

Cada problema de Programación Lineal en su forma estándar cumple con las siguientes tres propiedades:

Propiedad 1: «Si el problema no tiene solución óptima entonces es no-acotado o infactible»

Notar que un problema lineal con dominio de soluciones factible no acotado puede (o no) admitir solución óptima, es decir, el hecho de enfrentar un modelo de estas características no determina a priori la presencia (o ausencia) de solución óptima.

En la aplicación del Método Simplex se detecta un problema no acotado sin solución óptima cuando al realizar el cálculo de la variable que deja la base, todos los elementos y_kj de la columna j en la tabla, son negativos para j el índice de una variable no básica con costo reducido negativo. Por ejemplo consideremos el siguiente problema de Programación Lineal:

Luego de llevar a la forma estándar el modelo anterior, agregando X3 y X4 como variables de holgura para la restricción 1 y 2, respectivamente, se obtiene la siguiente tabla inicial.

X2 es una variable no básica con costo reducido negativo y en consecuencia la incorporamos a la base. Sin embargo no es factible calcular el criterio de factibilidad o mínimo cuociente debido a que las entradas en la columna de X2 son negativas o cero. Lo anterior deja en evidencia que el problema es no acotado sin solución óptima.

Por otra parte un modelo lineal es infactible (dominio de soluciones factibles vacío y por tanto no admite solución) si el valor de la función objetivo al finalizar la Fase I del Método Simplex de 2 Fases es distinto a cero.

Propiedad 2: «Si tiene una solución factible, tiene una solución básica factible»

Una propiedad básica de los modelos de Programación Lineal es que en caso de admitir solución óptima, ésta se encontrará necesariamente en un vértice o tramo en la frontera del dominio de soluciones factibles.

En este contexto en la aplicación del Método Simplex como estrategia algorítmica de resolución, se busca proveer soluciones que cumplan con Ax=b (restricciones de la forma estándar) y x≥0, definiendo una solución básica factible (no necesariamente óptima).

Por ejemplo en el siguiente gráfico que representa un modelo lineal en 2 variables se puede apreciar que los vértices A, B, C, D y E son soluciones básicas factibles.

Propiedad 3: «Si el problema tiene solución óptima, tiene una solución básica factible óptima»

Siguiendo con el ejemplo anterior el vértice C no sólo es una solución básica factible sino también una solución básica factible óptima. Si todos los costos reducidos (de las variables no básicas: S1 y S3) son mayores o iguales que cero y estamos en presencia de una solución básica factible (X=100, S2=400, Y=350 todas ≥0), se cumple con el criterio de parada del Método Simplex y en consecuencia la actual solución básica factible es óptima.

Qué es una Solución Básica Factible en Programación Lineal

En Programación Lineal una Solución Básica Factible (SBF) es aquella que además de pertenecer a la región o área factible del problema se puede representar a través de una solución factible en la aplicación del Método Simplex satisfaciendo las condiciones de no negatividad.

En este contexto una solución básica factible corresponderá a uno de los vértices del dominio de factibilidad cuya coordenada o solución se puede representar a través de un conjunto de restricciones activas para el modelo.

Para desarrollar el concepto anterior consideremos el siguiente problema de optimización matemática (lineal):

La resolución gráfica del problema anterior haciendo uso de Geogebra se presenta en el siguiente gráfico:

El área achurada corresponde al dominio de factibilidad del problema, identificándose en particular 5 vértices que hemos llamado arbitrariamente A, B, C, D y E.

La solución óptima del modelo lineal se alcanza en el vértice C donde X=100 e Y=350 con valor óptimo V(P)=3.100. Notar que dicha solución se puede obtener a través de la resolución de un sistema de ecuaciones con las restricciones 1 y 3 (R1 y R3) en igualdad.

En consecuencia, el vértice C además de ser una solución básica factible es una solución básica factible óptima.

En cuanto a los vértices A, B, D y E son soluciones básicas factibles (no óptimas) debido a que en la aplicación del Método Simplex al menos una variable no básica tendrá costo reducido negativo (lo que permitirá mejorar el actual valor de la función objetivo).

La tabla a continuación es la que se obtiene al llevar al problema a su forma estándar, agregando S1, S2 y S3 como variables de holgura de las restricciones 1, 2 y 3, respectivamente (R1, R2 y R3).

Ambas variables no básicas (iniciales) X e Y tienen costo reducido negativo (-3 y -8) por tanto X=0 e Y=0 que si bien es una solución básica factible (vértice A) no es solución óptima.

Para continuar la demostración realizaremos una iteración del Método Simplex incorporando la variable Y a la base (criterio costo reducido «más negativo«) y donde el mínimo cuociente Min {1.600/4; 1.700/2; 350/1}=350 ==> S3 deja la base:

La solución básica factible ahora es X=0 e Y=350 (vértice B), sin embargo, el costo reducido de la variable X sigue siendo negativo y por tanto aún no nos encontramos en el óptimo. En consecuencia X entra a la base y obtenemos el mínimo cuociente: Min {200/2; 1.000/6}=100 ==> S1 deja la base:

Finalmente se alcanza la solución óptima (solución básica factible óptima) con X=100 e Y=350 (vértice C) donde todas las variables no básicas (S1 y S3) tienen costos reducido mayor o igual a cero, cumpliendo con el criterio de optimalidad.

¿Qué sucede con los vértices D y E? También son soluciones básicas factibles (no óptimas) que se podrían encontrar por ejemplo incorporando en primera instancia (tabla inicial) a la variable X a la base. De esta forma se debería alcanzar el vértice E luego de una iteración y el vértice D en una segunda iteración.

Notar que también existen otras soluciones factibles (no básicas) como, por ejemplo, X=100 e Y=100 que pertenecen al dominio de soluciones factibles pero no se puede representar a través de la resolución de un sistema de ecuaciones.

Incorporar nueva variable en un Modelo (Análisis de Sensibilidad en Programación Lineal)

Una vez resuelto un modelo de Programación Lineal a través del Método Simplex puede resultar de interés analizar si cambia la solución óptima y valor óptimo del problema luego de incluir una nueva variable de decisión.

Por ejemplo, en un Problema de Producción esta nueva variable generalmente representa la evaluación de un nuevo producto no considerado inicialmente donde es útil saber cuál sería su impacto en los resultados del modelo sin la necesidad de reoptimizar.

Este tipo de análisis corresponde al Análisis de Sensibilidad en Programación Lineal y a continuación presentaremos un ejemplo de este escenario.

Consideremos el siguiente modelo de optimización:

Al resolver este modelo de Programación Lineal con el Método Simplex se alcanza la siguiente tabla final, donde s1, s2 y s3 son las variables de holgura de las restricciones 1, 2 y 3, respectivamente:

Consideremos adicionalmente que las variables x e y representan 2 productos y sus respectivos coeficientes en la función objetivo representan el ingreso asociado a su venta. En este contexto, en el plan actual se producen 100 unidades de x y 350 unidades de y, con un ingreso total de $3.100 (valor óptimo).

Asumamos que nos interesa analizar si conviene la fabricación de un tercer producto (llamado z) que tiene un ingreso unitario por venta de $5 y que para su fabricación requiere de 3, 1 y 1 unidad de los recursos asociados a las restricciones R1, R2 y R3, respectivamente.

Más aún, nos interesa dar respuesta a esta interrogante sin tener que resolver desde cero este nuevo problema. Si este es nuestro objetivo podemos utilizar el Análisis Postoptimal donde en particular calcularemos el costo reducido de esta nueva variable dado sus parámetros.

Si dicho costo reducido resulta ser negativo implica que la solución óptima actual deja de serlo al considerar este cambio y por tanto se puede buscar el nuevo óptimo utilizando la solución actual como punto de partida.

La fórmula del costo reducido para la nueva variable está dada por:

Donde la notación corresponde a:

Aplicando las definiciones anteriores a nuestro ejemplo se obtiene lo siguiente:

Notar que el costo reducido para esta nueva variable es 3/2>=0 lo que significa que la solución óptima actual se mantiene si se incluye esta nueva variable al modelo (donde la variable z sería una variable no básica con valor cero).

¿Cuánto debería ser como mínimo el ingreso asociado a la nueva variable z de modo que si sea conveniente su producción y por tanto cambie la solución óptima actual?.

Responder esta interrogante consiste en determinar cuál debiera ser el valor de Cj para que Rj<0 y entonces la variable z al tener costo reducido negativo entra a la base y se continua con las iteraciones.

Por simple inspección y evaluando en la fórmula anterior se puede corroborar que el ingreso mínimo para dicha variable debería ser un valor mayor a 13/2. Por ejemplo, asumamos ahora que el ingreso unitario de la variable z es $7. El nuevo costo reducido sería -1/2 y se actualiza la tabla final del Método Simplex quedando de la siguiente forma:

Se pueden continuar con las iteraciones del Método Simplex incorporando la variable z a la base y luego calculando el mínimo cuociente entre {400/2; 350/1}=200 ==> s1 deja la base. Al actualizar la tabla se obtiene la nueva solución básica factible óptima y valor óptimo:

Ahora x=200, y=150, z=200, con valor óptimo V(P)=3.200. Puedes corroborar los resultados revisando nuestro tutorial Cómo resolver un modelo de Programación Lineal con el Método Simplex.

Cómo resolver un modelo de Programación Lineal con What’sBest!

En el siguiente tutorial mostraremos Cómo resolver un modelo de Programación Lineal con What’sBest!. Para ello por supuesto se requiere previamente descargar e instalar What’sBest! como complemento de Excel tal cual lo explicamos paso a paso en un artículo previo.

Para mostrar cómo utilizar este programa utilizaremos el Problema de Transporte que consiste en determinar una política de distribución que minimice los costos de la logística, al mismo tiempo que satisface la demanda de los clientes y respeta la capacidad de los oferentes.

La información se resume en el siguiente diagrama para un caso particular de 2 plantas y 3 clientes, donde los números sobre las flechas representan los respectivos costos unitarios de transporte entre una planta y un cliente.

Los pasos para implementar este problema de programación lineal en What’sBest! son:

Paso A: Definir las Variables de Decisión: Para ello debes previamente definir en un planilla Excel las celdas que utilizarás como variables. En el ejemplo la Xij: Unidades transportadas desde la planta i al cliente j. Con i=1,2 y j=1,2,3 se tienen 6 variables de decisión.

Importante: Completa las celdas que serán variables de decisión con cero como se muestra en la imagen anterior. Luego selecciona el rango de celdas que corresponde a las variables del modelo y presiona «Make Adjustable».

Paso B: Definir la Función Objetivo: Como el nombre lo indica, ésta celda corresponde al objetivo del problema de optimización que en este caso es minimizar los costos totales de transporte. La celda contiene una fórmula SUMAPRODUCTO(C3:E4;C12:E13) previamente ingresa que pondera los costos unitarios de transporte para las distintas combinaciones (datos o parámetros) y las variable de decisión previamente definidas. Finalmente nos posicionamos sobre la celda de la función objetivo y seleccionamos en este caso «Minimize».

Paso C: Definir las Restricciones: Se incorporan las restricciones del modelo de optimización, es decir, las condiciones que deben cumplir las variables de decisión al momento de la resolución. Para ello se selecciona en el menú la opción «Constraints».

En la imagen a continuación se muestra cómo se incorporó la restricción que garantiza que la cantidad de unidades enviadas por cada planta (L.IZQ) no supere (<=) la capacidad de la misma (L.DER). Como se puede apreciar se incorporan las restricciones de capacidad de la planta 1 y 2 en forma simultanea.

Finalmente para proceder a la resolución del modelo seleccionamos la opción «Solve» del menú:

Luego de lo cual se obtienen los siguientes resultados:

Solución Básica Factible Óptima: X11=80.000; X12=40.000; X13=0; X21=0; X22=30.000; X23=90.000. El Valor Óptimo (mínimo costo) es de $940.000. Para descargar el archivo Excel con la resolución del modelo de transporte con What’sBest! sigue los pasos a continuación:

[sociallocker]Descarga Aquí: https://www.gestiondeoperaciones.net/wp-content/uploads/2013/02/PTWB.xlsx[/sociallocker]

Teorema de Holguras Complementarias: Dualidad en Programación Lineal

Uno de los teoremas principales en la Teoría de Dualidad en Programación Lineal es el Teorema de Holguras Complementarias.

El Teorema de Holguras Complementarias nos permite encontrar la solución óptima del Problema Dual cuando conocemos la solución óptima del Problema Primal (y viceversa) a través de la resolución de un sistema de ecuaciones conformado por las variables de decisión (primales y duales) y las restricciones (del modelo primal y dual).

La importancia de este teorema radica en que facilita la resolución de los modelos de optimización lineal, permitiendo a quién los resuelve buscar el modelo más sencillo para abordar (desde el punto de vista algorítmico) dado que de cualquier forma podrá obtener los resultados del modelo equivalente asociado (sea éste el modelo primal o dual).

Ejemplo Teorema de Holguras Complementarias

Consideremos el siguiente modelo de Programación Lineal (en adelante Primal) en 2 variables cuya solución óptima obtenida por el Método Gráfico es X=14/5 e Y=8/5 con valor óptimo V(P)=20,8.

El modelo Dual asociado al modelo primal es: (ante dudas de cómo pasar del problema primal al problema dual se recomienda revisar el artículo Relaciones de Dualidad en Programación Lineal (Cómo pasar de Primal a Dual))

Luego, el Teorema de Holguras Complementarias plantea las siguientes relaciones:

Como sabemos X=14/5 e Y=8/5 (Solución Básica Factible Óptima del modelo primal). Si reemplazamos estos valores de X e Y en la tercera y cuarta ecuación generamos un sistema de ecuaciones de 2×2 en términos de A y B cuya solución corresponde a A=6/5 y B=2/5 (solución óptima del modelo dual). Si posteriormente evaluamos en la función objetivo del problema dual dicha solución obtenemos: V(D)=12(6/5)+16(2/5)=20,8 que es similar al valor óptimo del problema primal (Teorema de Dualidad Fuerte).

Siendo A=6/5 y B=2/5 una solución factible para el problema dual, ésta es la solución optima de dicho problema.

Observaciones: Notar que la restricción 1 y 2 del problema primal son activas en el óptimo, es decir, se cumplen en igualdad. Esto permite descartar que A y B (variables duales asociadas a dichas restricciones) son iguales a cero. Si por ejemplo, la restricción 1 del modelo primal no fuese activa en el óptimo se podría afirmar que A es igual a cero en el dual.

Ejercicio Teorema de Holguras Complementarias en Programación Lineal

Una empresa que fabrica muebles desea estudiar la producción de varios tipos de mesas de madera. Las mesas a fabricar son mesas de comedor, de centro y de arrimo, las que deben ser procesadas por 3 tipos de máquinas, una cortadora, una ensambladora y una pulidora. Se dispone de a lo mas de 80 horas de trabajo en cada una de las máquinas y 2.000 unidades de madera. La siguiente tabla muestra los tiempos y la madera necesaria para la fabricación de cada mesa, así como la utilidad que reporta cada una de ellas.

Dadas las siguientes soluciones del Problema Primal S1=(900,100,0), S2=(176,496,656), S3=(200,400,550) y S4=(800,0,400). Determine mediante el Teorema de Holguras Complementarias si alguna de estas soluciones es óptima para el Problema Primal planteado.

Sea el Problema Primal el siguiente:

Variables de Decisión:

X1 : Cantidad de mesas de comedor a producir
X2 : Cantidad de mesas de centro a producir
X3 : Cantidad de mesas de arrimo a producir

Función Objetivo:

MAX Z = 3 X1 + 3 X2 + 2 X3

Restricciones:

5 X1 + 3 X2 + 2 X3 <= 4.800 (tiempo cortadora)
2 X1 + 5 X2 + 3 X3 <= 4.800 (tiempo ensambladora)
3 X1 + 2 X2 + 5 X3 <= 4.800 (tiempo pulidora)
2 X1 + 2 X2 + 1 X3 <= 2.000 (disponibilidad de madera)
X1>=0, X2>=0, X3>=0

Su correspondiente Problema Dual asociado es:

MIN W = 4.800 Y1 + 4.800 Y2 + 4.800 Y3 + 2.000 Y4
S.A.

5 Y1 + 2 Y2 + 3 Y3 + 2 Y4 >= 3
3 Y1 + 5 Y2 + 2 Y3 + 2 Y4 >= 3
2 Y1 + 3 Y2 + 5 Y3 + 1 Y4 >= 2
Y1>= 0, Y2>=0, Y3>=0, Y4>=0

A continuación verificamos la factibilidad de las soluciones propuestas para el Problema Primal:

S1=(900,100,0), V(S1)=3.000 Satisface todas las restricciones
S2=(176,496,656) V(S2)=3.328 Satisface todas las restricciones
S3=(200,400,550) V(S3)=2.900 Satisface todas las restricciones
S4=(800,0,400) V(S4)=3.200 Satisface todas las restricciones

Todas las soluciones satisfacen todas las restricciones por lo que son todas soluciones factibles. De ellas se escoge S2 ya que entrega la mayor utilidad para verificar si es solución óptima: X1=176, X2=496, X3=656.

En restricción (1) holgura X4 = 1.120
En restricción (2) holgura X5 = 0
En restricción (3) holgura X6 = 0
En restricción (4) holgura X7 = 0

De esta forma el Teorema de Holguras Complementarias permite obtener lo siguiente:

Que al ser reducido permite obtener un sistema de ecuaciones de 3×3:

2 Y2 + 3 Y3 + 2 Y4 = 3
5 Y2 + 2 Y3 + 2 Y4 = 3
3 Y2 + 5 Y3 + 1 Y4 = 2

Solución Problema Dual : Y1=0, Y2=1/25, Y3=3/25, Y4=32/25. Al evaluar la solución alcanzada en la función objetivo del dual se obtiene: W=4.800*0+4.800*1/25+4.800*3/25+2.000*32/25=3.328. Por el Teorema de Dualidad Fuerte W=Z por lo tanto S2 es solución óptima del Problema Dual.