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Formulación un modelo de Programación Entera para un Plan Maestro de la Producción (PMP)

La Planificación Agregada y el Plan Maestro de la Producción (PMP o MPS según sus siglas en inglés Master Production Schedule) son metodologías ampliamente utilizadas hoy en día en empresas de manufactura para planificar las necesidades de producción de una serie de productos, de modo de responder a un pronóstico de demanda a través de los recursos productivos que se disponen.

En este contexto, la evidencia empírica muestra que existen diversas estrategias que se pueden utilizar para enfrentar la demanda, cada una de las cuales se puede valorar en términos de costos pero también a través de una serie de criterios cualitativos que por su naturaleza son difíciles de estimar en una unidad monetaria.

A continuación se presenta un gráfico con el Pronóstico de Demanda de un producto para el cual propondremos un modelo de optimización que permita cumplir con dichos requerimientos, minimizando los costos asociados a la utilización de los recursos productivos:

Se puede apreciar que la demanda presenta una estacionalidad marcada donde al inicio y final del año los valores son menores a la demanda de un mes promedio (7.817 unidades).

En contraste con lo anterior en los meses de Junio, Julio y Agosto se presenta un peak de demanda, superando en magnitud claramente lo que correspondería a la demanda de un mes promedio. Adicionalmente consideremos los siguientes antecedentes de operación:

Costo de Contratar un Trabajador: US$1.000
Costo de Despedir un Trabajador: US$1.800
Costo de Almacenamiento Unitario Mensual: US$10
Inventario Inicial: 500 unidades
Costo Remuneración (Sueldo) de un Trabajador al Mes: US$600
Número de Trabajadores al Inicio de la Planificación: 100
Unidades de Producto producidas por un Trabajador al Mes: 50

La pregunta inmediata es: ¿Cómo responder a la demanda pronosticada durante el período de planificación al menor costo posible?. Algunas posibles respuestas son:

Fuerza Laboral Exacta: Esto es mediante contratación y despido de trabajadores para responder de forma exacta a las necesidades de cada mes. Con esta alternativa se busca evitar la acumulación de inventario.

Acumulación y Liquidación de Inventario: Producir en mayor volumen en los meses de menor demanda de modo de acumular inventario para enfrentar los requerimientos adicionales de los meses de mayor demanda. Si se considera adecuado se puede utilizar esta alternativa buscando no afectar el tamaño de la fuerza laboral.

Por cierto también se puede utilizar una estrategia mixta o híbrida que mezcle por ejemplo características de las 2 opciones presentadas anteriormente. Este enfoque generalmente es el que permite alcanzar menores costos.

Adicionalmente cabe destacar que en un Plan Maestro de la Producción (PMP) se podrían considerar otras alternativas o variables de ajuste no consideradas en este ejemplo como la utilización de trabajadores en tiempo extraordinario, la subcontratación parcial de la producción, la eventual postergación de demanda, entre otras opciones.

Luego, en relación a los antecedentes de operación previamente detallados, un modelo de Programación Entera para el Plan Maestro de la Producción es:

1. Variables de Decisión:

2. Función Objetivo:

3. Restricciones:

Satisfacer la Demanda (Balance de Inventario): Donde Dt corresponde a la demanda pronosticada para el mes t (parámetros).

Balance Mano de Obra: La cantidad de trabajadores en operación en cada período corresponde a los trabajadores disponibles al final del mes anterior, más los contratados y menos los despedidos en el mes en curso.

Capacidad de Producción: La producción de cada mes se ve limitada por la disponibilidad de trabajadores y el rendimiento mensual (en unidades de producto) que cada uno de éstos tiene.

No Negatividad e Integralidad: Todas las variables de decisión deben adoptar valores no negativos y adicionalmente ser enteras.

El modelo anterior se puede implementar con Solver y What’sBest! obteniendo los siguientes resultados:

Implementación Computacional en Solver: Se alcanza una solución factible con valor en la función objetivo de US$1.468.700.

El detalle de la resolución la puedes revisar en el siguiente tutorial de nuestro canal de Youtube:

Implementación Computacional con What’sBest!: Se alcanza una solución factible con valor en la función objetivo de US$1.468.400, la cual es ligeramente inferior en costos a la solución obtenida con Solver.

La carga del modelo en What’sBest! y la obtención de los resultados anteriores se puede revisar en el siguiente tutorial de nuestro canal de Youtube:

[sociallocker]Problema PMP www.gestiondeoperaciones.net[/sociallocker]

Programación No Lineal no Convexo

A diferencia de la Programación Lineal donde sus distintas aplicaciones corresponden a problemas de optimización convexos (situación que facilita la resolución computacional), en Programación No Lineal no existen garantías a priori que permita garantizar que un modelo en particular será un problema convexo.

Es decir, una aplicación de Programación No Lineal puede ser un problema convexo o un problema no convexo.

En este artículo abordaremos a través de un ejemplo sencillo las dificultades prácticas y algorítmicas asociadas a la resolución de un modelo de Programación No Lineal no convexo.

Consideremos el siguiente modelo matemático no lineal con restricciones:

Una primera aproximación a su resolución consiste en graficar la función anterior utilizando Geogebra:

Se puede observar que la función es no convexa, constatándose adicionalmente la presencia de mínimos locales (por ejemplo los Puntos B y C) y mínimo global (Punto A).

En este sentido la expectativa que debiéramos tener al implementar este problema computacionalmente es obtener la solución óptima para un valor de x en el intervalo entre [4,5] (por simple inspección) lo que corresponde al Punto A de la gráfica anterior.

Una alternativa de resolución computacional para este problema es utilizar AMPL como lenguaje de programación matemática y MINOS 5.5 como solver de resolución. El código de la implementación y los resultados alcanzados se muestra a continuación:

La solución óptima encontrada por el algoritmo corresponde a x=1 (Punto C) lo que permite alcanzar un valor en la función objetivo igual a cero: f(1)=0. Claramente según nuestro gráfico esta solución corresponde sólo a un mínimo local aun cuando el programa sugiere que es el mínimo global del problema.

Otra alternativa de resolución consiste en la utilización de Solver. En primera instancia el algoritmo converge a la solución x=1 con f(1)=0.

Sin embargo, si manualmente editamos el valor de la celda color amarillo B3 (variable de decisión) a «2» y reoptimizamos con Solver se obtiene lo siguiente:

Se alcanza ahora una nueva solución con x=2,45608774 con f(2,45608774)=-1,41869663 lo que corresponde al Punto B de nuestro gráfico y que si bien corresponde a un mínimo local provee un valor menor en la función objetivo al ser comparado con el Punto C. En este contexto resulta razonable considerar el valor «4» para la celda cambiante como punto de partida para una nueva reoptimización:

Ahora obtenemos lo que correspondería al mínimo global del problema (Punto A) con solución óptima x=4,64443285 y valor óptimo f(4,64443285)=-3,63143221.

Finalmente hemos resuelto el problema con What’sBest! donde en el siguiente tutorial de nuestro canal de Youtube mostramos los detalles de la implementación:

Luego de reoptimizar sobre la solución local alcanzada en primera instancia se obtiene el mínimo global del problema (Punto A):

Conclusiones: Las principales dificultades enfrentadas al intentar resolver un modelo de Programación No Lineal no convexo es no tener la certeza si la solución obtenida a través de una herramienta computacional corresponde a un mínimo local o mínimo global.

Con las herramientas presentadas en este artículo fue necesario reoptimizar sobre soluciones obtenidas en primera instancia para encontrar la solución óptima del problema. Cabe destacar que en este ejemplo al disponer de una representación gráfica del problema sabíamos de antemano cuál era la solución del problema lo cual nos permitía contrastar los resultados computacionales. En este sentido claramente un modelo de mayor complejidad (por ejemplo, un mayor número de variables de decisión y/o restricciones) una aproximación intuitiva no tiene sentido práctico.

En este contexto una de las principales áreas actuales de desarrollo de la Investigación de Operaciones es proveer de métodos numéricos de resolución que permita abordar de forma eficiente la complejidad de esta categoría de problemas de optimización.

Problema de Plan de Personal en un Call Center (Programación Entera)

Una línea aérea está considerando incorporar vuelos desde y hacia su aeropuerto base y por lo tanto necesita contratar más agentes de servicio al cliente. Sin embargo, no está claro cuántos más debe contratar. La administración reconoce la necesidad de controlar el costo y al mismo tiempo brindar un nivel de atención satisfactorio. Se ha realizado un análisis del número mínimo de agentes de servicio que deben encontrarse de guardia en diferentes momentos del día para proporcionar un nivel satisfactorio de servicio.

Se ha acordado que cada agente trabaje un turno de 8 horas en los turnos mostrados en la tabla anterior. Por ejemplo, el turno 3 va desde las 12:00 hasta las 20:00. Los sueldos de cada turno son diferentes debido a que unos son más deseables que otros. Por ejemplo, a cada agente que cumpla el turno 3 debemos pagarle diariamente $175.

Se busca formular y resolver un modelo Programación Entera que permita a la línea aérea encontrar el plan de asignación de agentes al menor costo posible y que cumpla los requerimientos impuestos.

1. Variables de Decisión: Establecer un plan de asignación de agentes a los distintos turnos de trabajo.

Xi: Número de Agentes asignados al Turno i con i=1,2,3,4,5 con Xi>=0 {Enteros}

2. Función Objetivo: Minimizar el costo total de la asignación de agentes.

Minimizar 170X1+160X2+175X3+180X4+195X5

3. Restricciones: Se busca garantizar que en cada período del día se cuenta con la cantidad mínima de agentes requeridos.

X1 >= 48
X1 + X2 >= 79
X1 + X2 >= 65
X1 + X2 + X3 >= 87
X2 + X3 >= 64
X3 + X4 >= 73
X3 + X4 >= 82
X4 >= 43
X4 + X5 >= 52
X5 >= 25

A continuación implementamos el modelo anterior en Solver. Notar que las celdas color amarillo son las asignadas a las variables de decisión y éstas a la vez vinculan las combinaciones posibles entre turnos y períodos atendidos.

Adicionalmente en la columna I se ha guardado el valor del lado izquierdo de las restricciones que garantizan el mínimo número de agentes por período.

Finalmente la función objetivo (celda color naranjo) corresponde a la suma producto entre las variables de decisión y los parámetros que representan el costo diario por agente en los respectivos turnos (SUMAPRODUCTO(C4:G4;C19:G19)).

La implementación del modelo anterior en la interfaz de Solver es la siguiente:

Alcanzando la solución óptima del problema que considera la asignación de 48, 31, 39, 43 y 25 personas a los turnos 1,2,3,4 y 5, respectivamente, con un costo total (mínimo) de $32.560.

El siguiente video de nuestro canal en Youtube muestra la resolución del problema anterior:

¿Quieres tener el archivo Excel con la resolución en Solver de este problema?.

[sociallocker]Descargar Aquí Problema Agentes Call Center[/sociallocker]

Problema de Corte de Rollos en Programación Entera (Premium Solver)

En el artículo anterior abordamos una aplicación clásica de la Programación Entera conocida como el Problema de Corte de Rollos («Cutting Stock Problem») el cual en esta oportunidad resolveremos utilizando la versión Premium de Solver. Si bien el tamaño y complejidad del modelo permitiría enfrentar su resolución sin mayores inconvenientes con la versión tradicional de Solver, utilizaremos Premium Solver Pro para efectos ilustrativos del uso de esta herramienta mejorada.

En este contexto recordemos las características del modelo de optimización de corte de rollos que consiste en minimizar una función de pérdida de material sujeta a restricciones que permiten satisfacer la demanda de rollos de menor tamaño y que incluye adicionalmente condiciones de no negatividad e integralidad para las variables de decisión:

2X1+X2+X3+X8+X9+X13>=150
X2+3X4+2X5+X6+X8+2X10+X11+X14>=200
X2+3X3+2X5+3X6+5X7+X9+X10+2X11+4X12+X14+3X15>=175
Xi>=0 Enteros (i=1,…,15)

Con el objetivo de implementar en Premium Solver Pro el problema anterior creamos en Excel una estructura que resuma la información del problema y que facilite su resolución. La imagen a continuación considera en las celdas con color amarillo las variables de decisión (15 variables) y en la celda J20 (color celeste) la función objetivo.

A continuación para definir las variables de decisión seleccionamos «Decision» y luego «Normal». Notar que previamente se ha seleccionado el rango de celdas que queremos definir como variables de decisión (en este ejemplo las 15 celdas en color amarillos).

Para restringir el valor que adopten las variables de decisión a números enteros se debe ir a «Constraints», «Variable Type/Bound», «Integer» como muestra la siguiente imagen:

Ahora nos posicionamos en la celda J20 que contiene la función objetivo (esta celda contiene una fórmula que es la sumaproducto de la pérdida de material en [cm] asociada a cada patrón de corte ponderada por la cantidad de veces que se utiliza un esquema de corte definido). Luego en «Objective» seleccionamos «Min».

En el siguiente paso corresponde incorporar las restricciones de demanda para el problema. Notar que dado que las restricciones de demanda de rollos de 45[cm], 30[cm] y 18[cm] son todas del tipo «>=» las podemos incorporar todas de forma simultanea tal se muestra a continuación:

Finalmente estamos en condiciones de poder resolver el modelo de optimización con Premium Solver Pro. A la derecha de la planilla de cálculo encontraremos la interfaz del programa que resume las características del problema que hemos implementado.

Seleccionamos el icono con flecha verde que esta en la esquina superior derecha de la imagen anterior para resolver el modelo, obteniendo la solución óptima y valor óptimo que se muestra a continuación:

La solución óptima consiste en utilizar 150 veces el patrón de corte 3 (X3=150) y 100 veces el patrón de corte 10 (X10=100), omitiéndose el uso de los otros esquemas de corte. Con esto la pérdida de material (total) asciende a 350[cm] de papel, logrando satisfacer la demanda para cada tipo de rollo (notar que para el caso de los rollos de 18[cm] se producen 550[u] siendo la demanda de 175[u]). En nuestro canal de Youtube puedes revisar la implementación y resolución computacional del modelo anterior.

Problema de Asignación en Programación Entera resuelto con Solver

Cuando necesitamos asignar recursos escasos a determinadas funciones y dichos recursos no son fraccionables, la utilización de modelos de Programación Entera resultan ser de utilidad para la toma de decisiones. En este contexto los problemas de asignación de personal a determinadas tareas es una aplicación típica de la Programación Entera que a continuación desarrollaremos a través de un ejemplo.

Problema de Asignación

Consideremos una empresa que dispone de 5 ingenieros que deben desarrollar 7 proyectos. La tabla a continuación resume el tiempo que demora cada ingeniero (en horas) en completar un determinado proyecto. El problema consiste en determinar una asignación óptima que permita realizar cada uno de los proyectos con la limitante que por motivos estratégicos cada ingeniero debe desarrollar al menos un proyecto y en ningún caso hacer más de 2 proyectos. Por supuesto se busca que el tiempo requerido para realizar los 7 proyectos sea el menor posible.

Una alternativa sería buscar intuitivamente una asignación que cumpla con los requisitos de la empresa y tenga un bajo tiempo asociado. Sin embargo, este tipo de estrategias de resolución queda claramente acotada a problemas de tamaño menor y ni siquiera en ese tipo de situaciones nos asegura la mejor solución posible. Por ello definiremos el siguiente modelo de optimización de Programación Entera:

1. Variables de Decisión: Utilizamos las siguientes variables de decisión binarias

2. Función Objetivo: Minimizar el tiempo total requerido para completar los proyectos

Donde Tij (parámetros) es el tiempo (en horas) requerido por el ingeniero i en realizar el proyecto j. Por ejemplo T(A,P5)=7.

3. Restricciones:

Cada proyecto debe ser realizado por un solo ingeniero:

Cada ingeniero debe ser al menos un proyecto y no puede hacer más de 2:

El siguiente tutorial muestra cómo resolver este problema de asignación con Solver de Excel:

Se puede observar que para efectos de Solver, las variables de decisión binarias se deben definir como una restricción adicional. También puede resultar que luego de resolver Solver no encuentre inmediatamente la mejor solución posible. Para enfrentar esta situación se puede «volver a resolver» sobre la solución que el programa nos haya proporcionado hasta el momento para verificar si se puede lograr algo mejor. Esta situación es la que sucedió en el tutorial y a continuación se muestra la solución óptima (final) encontrada por Solver.

En total se requieren 56 horas para realizar los 7 proyectos. El ingeniero A realiza el P7, el ingeniero B el P3 y P5, el ingeniero C el P6, el ingeniero D el P2 y P4 y el ingeniero E el P1. Notar que cada proyecto es realizado por un ingeniero y cada ingeniero al menos realiza un proyecto, pero no más de 2 proyectos.