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Probabilidad de terminar un Proyecto en un tiempo determinado con PERT

Cuando se utiliza el método PERT (Program Evaluation and Review Technique) uno de los principales objetivos es considerar la incertidumbre en el tiempo de duración de cada una de las actividades de modo de poder estimar la probabilidad de completar el proyecto en un tiempo determinado. Este tipo de análisis resulta de bastante utilidad en aplicaciones prácticas dado que se entiende que en todo Proyecto existen imprevistos o circunstancias que pueden afectar la duración de una actividad y su impacto se puede traspasar al inicio o termino de otras actividades.

Probabilidad de completar un Proyecto en un tiempo determinado utilizando PERT

Para introducir este concepto consideraremos nuevamente nuestro ejemplo de un proyecto que consta de 9 actividades y que contempla las siguientes secuencias y tiempos estimados para cada uno de sus 3 escenarios:

Tiempo esperado PERT

Luego de obtener la duración del proyecto utilizando la Metodología de PERT y el software WINQSB, se determina que el tiempo estimado para completar el proyecto es de 21,5 semanas y las actividades de la ruta crítica son D-F-G. El paso siguiente es determinar la sumatoria de las varianzas de las actividades que pertenecen a la ruta crítica. La varianza se obtiene como:

Varianza Actividades

Donde b es el tiempo pesimista y a es el tiempo optimista. La siguiente tabla muestra el cálculo de la varianza redondeando a 5 decimales (decisión arbitraria para efectos de desarrollar el ejemplo). Se ha marcado con verde las actividades de la ruta crítica para las cuales en la celda H13 se ha calculado la suma de sus varianzas.

Varianza para PERT

Consideremos ahora que para este proyecto nos interesa calcular la probabilidad de poder terminarlo en 23 semanas o menos. Para ello desarrollamos el siguiente procedimiento que nos indica que dicha probabilidad es un 86,86%:

Probabilidad PERT

Esta probabilidad también se puede obtener con la función de Excel: =DISTR.NORM.ESTAND(1,12)

El siguiente tutorial muestra cómo calcular la probabilidad de terminar el proyecto en 23 semanas o menos utilizando WINQSB. Notar que el resultado es levemente diferente sólo por efecto de aproximación:

Cómo resolver un modelo de Programación Lineal con Geogebra

En los cursos básicos de Investigación de Operaciones (o Investigación Operativa) frecuentemente el tema de introducción y discusión inicial es la formulación y resolución de modelos de optimización lineales para apoyar el proceso de toma de decisiones.

En este contexto se suelen abordar formulaciones matemáticas sencillas como los cubiertas en Programación Lineal y para entender sus propiedades se estudian modelos que consideran 2 variables de decisión para que sea factible y sencillo representarlos gráficamente, de modo de encontrar su solución óptima y valor óptimo (en caso de existir).

Al respecto cabe destacar que aquellas propiedades que se desprenden de la resolución gráfica de modelos lineales se pueden extender a problemas de Programación Lineal de mayor tamaño. Algunos de estos aspectos se detallan en el artículo Teorema Fundamental de la Programación Lineal.

A continuación presentaremos un modelo de Programación Lineal con 2 variables de decisión el cual resolveremos con la ayuda del software libre Geogebra, el cual es muy útil para la representación gráfica de funciones matemáticas, figuras geométricas, entre otras.

El programa se puede descargar gratuitamente tanto a computadores o smartphones, o si se prefiere, ejecutar directamente desde su página www.geogebra.org en Internet.

Modelo de Programación Lineal

El siguiente tutorial de nuestro canal de Youtube muestra como resolvemos gráficamente este modelo de Programación Lineal  utilizando el software Geogebra.

Una vista final de la representación gráfica del problema lineal propuesto se presenta a continuación:

resolver programación lineal con geogebra

Con color verde se destaca el polígono que considera todas aquellas soluciones factibles del problema, es decir, aquellos valores para las variables de decisión que satisfacen de forma simultanea el conjunto de restricciones. Dicho dominio de factibilidad se denomina región de puntos factibles o dominio de soluciones factibles.

Adicionalmente con color rojo se observa una linea punteada que representa la curva de nivel de la función objetivo que intercepta el vértice óptimo (solución óptima). La solución óptima es X_{1}=100 y X_{2}=350, con valor óptimo V(P)=3.100.

Cabe destacar que existen otras herramientas gráficas que permiten resolver gráficamente un modelo de Programación Lineal en 2 variables. Tal es el caso del software TORA el cual se incluye en el libro de Investigación de Operaciones de H.Taha (ver Cómo Resolver Gráficamente un Modelo de Programación Lineal con TORA) y IORTutorial (Cómo Resolver Gráficamente un Modelo de Programación Lineal con IORTutorial).