El Problema del Camino más Corto (o ruta más barata) consiste en encontrar una ruta o camino óptimo entre un nodo fuente y un nodo destino, los cuales están enlazados a través de una red con arcos que poseen un cierto atributo, el cual puede ser costo, distancia, tiempo, etc.
La Programación Entera permite abordar de forma eficiente este tipo de problemas, en especial cuando la cantidad de nodos y rutas posibles resulta ser un número significativo. Utilizar en estos casos un enfoque intuitivo de resolución es tedioso y de no ser exhaustivo no garantiza la identificación de la mejor alternativa o ruta.
Consideremos el siguiente diagrama donde los números asignados a cada uno de los arcos representan la distancia en kilómetros de un nodo a otro. Se desea encontrar la ruta con la distancia mínima para ir del nodo 1 al nodo 8.
El tamaño reducido de la red anterior permite encontrar el camino más corto simplemente enumerando las distintas alternativas que comenzando en el nodo 1 permita llegar al nodo 8. De esta forma las rutas posibles son:
- Ruta 1-2-5-7-8: 4+8+17+9=38[km]
- Ruta 1-3-4-7-8: 3+12+20+9=44[km]
- Ruta 1-3-4-6-8: 3+12+2+22=39[km]
- Ruta 1-3-4-8: 3+12+15=30[km]
- Ruta 1-3-6-8: 3+4+22=29[km]
La ruta o camino más corto esta dada por la secuencia 1-3-6-8 con una distancia total de 29[km].
A continuación se formula un modelo de Programación Entera que permite extender este tipo de resultados a un problema de estas características:
Variables de Decisión:
Función Objetivo: Minimizar la distancia total en [km] dada por la siguiente expresión:
Restricciones:
- La primera restricción (1) garantiza que sólo un nodo (entre el 2 y el 3) pueda ser el que se visita a continuación de comenzar en el nodo 1.
- La restricción (2) determina que si se visito el nodo 2 después del nodo 1, entonces necesariamente el nodo 5 será visitado después del nodo 2.
- La restricción (3) permite verificar que si el nodo 3 fue visitado luego del nodo 1, entonces a continuación se visita el nodo 4 o el nodo 6 (sólo uno de ellos).
- La restricción (4) establece que si el nodo 5 fue visitado luego del nodo 2, entonces el nodo 7 debe ser visitado luego del nodo 5.
- La restricción (5) garantiza que si el nodo 4 fue visitado luego del nodo 3, entonces a continuación se visita uno de los siguientes nodo: 7, 8 o 6.
- La restricción (6) indica que si el nodo 6 fue visitado inmediatamente luego de estar en el nodo 3 o 4, a continuación se visita el nodo 8.
- La restricción (7) determina que si el nodo 7 fue visitado inmediatamente luego de estar en el nodo 4 o 5, a continuación se visita el nodo 8.
- Finalmente la restricción (8) asegura que ya sea el nodo 7, 4 o 6 sea el último en visitar previo a terminar la ruta en el nodo 8.
Al implementar en Solver el problema del Camino más Corto o Ruta Mínima anterior se alcanzan los siguientes resultados:
Donde se corrobora que la ruta más corta (solución óptima) corresponde al camino 1-3-6-8 con una distancia total de 29[km] (valor óptimo).
El tutorial a continuación disponible en nuestro canal de Youtube muestra en detalle la implementación y resolución computacional de este problema:
