La Programación Lineal nos permite abordar distintos problemas de naturaleza real algunos de los cuales ya hemos tratado en artículos anteriores como el Problema de Transporte, el Problema de Mezcla de Productos y el Problema de la Dieta.
En el siguiente artículo analizaremos otra aplicación clásica conocida como el Problema de Producción e Inventario cuyas extensiones y variantes se pueden consultar adicionalmente en la categoría del Plan Maestro de la Producción.
El Problema de Producción e Inventario consiste básicamente en determinar una política de producción en el tiempo que permita satisfacer ciertos requerimientos de demanda, respetando las limitantes de producción y a un costo mínimo.
Este tipo de modelos se puede extender para varios productos, sin embargo, en esta oportunidad consideraremos un solo producto para su ilustración.
En este contexto, consideremos los siguientes antecedentes de producción que se presentan a continuación:
Luego, definimos el siguiente modelo de optimización lineal:
Supuesto: se dispone de un inventario inicial de 50 unidades, es decir, I0=50.
1. Variables de Decisión:
- Xt: Unidades a producir en el mes t (t=1,..,6 con t=1 => Enero; t=6 => Junio)
- It: Unidades a almacenar en inventario al final del mes t (t=1,..,6 con t=1 => Enero; t=6 => Junio)
2. Función Objetivo: Minimizar los costos de producción (destacados con color azul) y costos de inventario (destacados con color rojo) durante el período de planificación definido por:
60X1 + 60X2 + 55X3 + 55X4 + 50X5 + 50X6 + 15I1 + 15I2 + 20I3 + 20I4 + 20I5 + 20I6
De forma compacta (parametrica) se puede representar la función objetivo como:
![Minimizar\sum_{t=1}^{6}[C_{t}\cdot X_{t}+H_{t}\cdot I_{t}]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=Minimizar%5Csum_%7Bt%3D1%7D%5E%7B6%7D%5BC_%7Bt%7D%5Ccdot+X_%7Bt%7D%2BH_%7Bt%7D%5Ccdot+I_%7Bt%7D%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "Minimizar\sum_{t=1}^{6}[C_{t}\cdot X_{t}+H_{t}\cdot I_{t}]")
Donde
3. Restricciones:
a) Satisfacer los requerimientos de demanda (conocida como restricción de Balance de Inventario).
Por ejemplo, el inventario disponible al final del mes de Enero será el resultado de la producción del mismo mes, más el inventario inicial (que se asume un dato, en este caso 50 unidades) menos la demanda satisfecha durante el mes de Enero.
- X1 + 50 – I1 = 100 (Enero)
- X2 + I1 – I2 = 130 (Febrero)
- X3 + I2 – I3 = 160 (Marzo)
- X4 + I3 – I4 = 160 (Abril)
- X5 + I4 – I5 = 140 (Mayo)
- X6 + I5 – I6 = 140 (Junio)
Notar que la restricción se Balance de Inventario impuesta para un producto se puede generalizar como:
b) Respetar la capacidad máxima de producción mensual (oferta).
Se establece que la oferta o producción máxima mensual no puede superar la capacidad de producción.
X1<=120 X2<=120 X3<=150 X4<=150 X5<=150 X6<=150
O simplemente
c) Condiciones de no negatividad.
De forma natural y dada nuestra definición cada variable de decisión debe ser no negativa.
Xt >= 0 It >= 0 Para todo t
El siguiente tutorial muestra cómo implementar este Modelo de Producción e Inventario correspondiente a la Programación Lineal en Solver de Excel:
La solución óptima se muestra a continuación con un valor óptimo de $43.450. Se puede apreciar que se producen en total 780 unidades entre Enero y Junio las cuales junto al inventario inicial de 50 unidades permiten satisfacer los requerimientos de demanda mensualmente.
¿Quieres tener el archivo Excel con la resolución en Solver de este problema?.
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