Distribución Estacionaria de una Cadena de Markov en Tiempo Continuo

En la Teoría de Probabilidades, una Cadena de Markov en Tiempo Continuo (CTMCContinuous Time Markov Chain) corresponde a un modelo matemático donde una variable aleatoria toma valores en un espacio finito y donde el tiempo en que la variable se encuentra en un determinado estado adopta valores reales no negativos que siguen una Distribución Exponencial. Dicha característica denominada Propiedad de No Memoria determina que el comportamiento a futuro del proceso estocástico depende sólo del estado actual y no del comportamiento histórico de dicha variable.

En este contexto a continuación presentamos un ejemplo del cálculo de una Distribución Estacionaria o de Largo Plazo para una Cadena de Markov en Tiempo Continuo. Nuestro objeto de análisis en términos intuitivos es similar al caso de la Distribución Limite de una Cadena de Markov en Tiempo Discreto, es decir, estimar en el largo plazo (e independiente de la distribución inicial) cuál es la probabilidad que el proceso estocástico se encuentre en uno de los N estados posibles.

Distribución Estacionaria Cadena de Markov en Tiempo Continuo

Aves arriban a uno de los 4 alimentadores (comederos) ubicados en el patio de una casa de acuerdo a un Proceso de Poisson con tasa promedio de un ave por minuto. Si todos los alimentadores (4 en total) están ocupados, el ave se va sin esperar que un alimentador se desocupe y en caso contrario el ave come de un alimentador por un tiempo determinado que sigue una Distribución Exponencial con media de un minuto. Se desea modelar la cantidad de alimentadores o comederos ocupados X(t) a través de una Cadena de Markov en Tiempo Continuo.

Sea X(t) la variable aleatoria que representa el número de alimentadores ocupados. En este contexto X(t) representa el número de entidades presentes en los alimentadores en el instante t, cuyo tamaño aumenta con la llegada (nacimiento) de entidades (aves) o disminuye con la salida (muerte) de entidades (aves).

Al existir 4 alimentadores, la cantidad de éstos que se pueden encontrar ocupados en un instante del tiempo son 0, 1, 2, 3 o 4, (X(t)\in\begin{Bmatrix}0,1,2,3,4\end{Bmatrix}t\geq 0) según se representa en el diagrama de transición a continuación:

proceso nacimiento y muerte ctmc

Los valores en las flechas que unen los estados 0 con el 1, 1 con el 2, 2 con el 3 y 3 con el 4, corresponden a la tasa de llegada λ (tasas de nacimiento) que en este caso corresponde a \lambda_{i}=1[\frac{ave}{minuto}] para todo i.

Por otro lado las tasas de servicio (salida o muerte) µ corresponderán a \mu_{i}=i\mu, de modo que de esta forma se obtienen las tasas indicadas en la parte inferior del diagrama en aquella transiciones que consisten en disminuir el número de alimentadores ocupados. Notar que en este caso \mu=1[\frac{ave}{minuto}] .

La cadena propuesta es claramente irreducible (es decir, todos los estados se comunican entre sí y existe por tanto una única clase de estados), de modo que podemos estimar una distribución estacionaria o de largo plazo. En este sentido la ecuación correspondiente es:

ecuaciones largo plazo ctmc

Donde por cierto \sum\pi _{i}=1. La Matriz General G, que tiene como característica que la sumatoria de los valores en sus respectivas filas corresponde a cero, a su vez queda definida por:

matriz g ctmc

De este modo se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

sistema ecuaciones largo plazo ctmc

La solución del sistema corresponde a:

soluciones ecuaciones ctmc

Que representa para cada estado la proporción del tiempo (en el largo plazo) que cada uno de ellos se encontrará ocupado, por ejemplo, se espera que en el 36,92% del tiempo no se encuentren alimentadores (comederos) ocupados.

Los resultados anteriores han sido corroborados haciendo uso de una planilla de Simulación de Sistemas de Espera disponible en el Libro Investigación de Operaciones de H. Taha. Notar que se ha establecido un límite de 4 entidades (en este caso aves) para el sistema:

simulación ctmc

El número de alimentadores ocupados en el largo plazo son:

alimentadores ocupados largo plazo

Se concluye que en el largo plazo se encuentren ocupados 0,9845 comederos. Cabe destacar que según el resultado de la simulación anterior L_{s}=0,98462 y por cierto la diferencia respecto a nuestro resultado obedece exclusivamente a la cantidad de decimales utilizados para la estimación.

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