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El Método del Costo Mínimo determina una mejor solución básica factible inicial que el Método de la Esquina Noroeste debido a que se concentra en las rutas menos costosas.

De esta forma el Método del Costo Mínimo se inicia asignando lo máximo posible a la celda que tenga el mínimo costo unitario (en caso de empates, éstos se rompen de forma arbitraria). A continuación, la fila o columna ya satisfechos de tacha, y las cantidades de oferta y demanda se ajustan en consecuencia. Si se satisfacen de forma simultanea una fila y una columna, sólo se tacha uno de los dos (de forma idéntica que el Método de la Esquina Noroeste). Luego se busca la celda no tachada con el costo unitario mínimo y se repite el proceso hasta que queda sin tachar exactamente una fila o una columna.

Consideremos nuevamente el Problema de Transporte donde se desea satisfacer la demanda de 4 molinos a través de los envíos de 3 silos, donde los valores en la esquina superior derecha de cada cuadro $c_{ij}$ representan los costos unitarios de transporte desde el silo i al molino j.

Fe de Erratas: En la imagen dice Molino 1, 2, 3 y 5 (columnas). Debería decir: Molino 1, 2, 3 y 4.

La aplicación del Método de Costo Mínimo al problema de transporte anterior da origen a la siguiente solución factible de inicio:

Los pasos aplicados para llegar a dichos resultados se resumen a continuación:

La celda $x_{12}$ tiene el menor costo unitario, por tanto se asigna lo máximo posible (15 unidades correspondiente a la oferta del silo 1). Con $x_{12}=15$ se satisface tanto la demanda del molino 2 como la oferta del silo 1. Se tacha de forma arbitraria la columna 2.
Ahora la celda $x_{31}$ tiene el mínimo costo unitario sin tachar. Se asigna $x_{31}=5$ y se tacha la columna 1 porque quedó satisfecha (lo cual deja una capacidad remanente del silo 3 de 5 unidades).
Al continuar de este modo, se asignan en forma sucesiva 15 unidades a la celda $x_{23}$ , 0 unidades a la celda $x_{14}$ (la capacidad del silo 1 ya fue asignada), 5 unidades a la celda $x_{34}$ y 10 unidades a la celda $x_{24}$ .

La solución básica factible de inicio resultante con 6 variables básicas es: $x_{12}=15, x_{14}=0, x_{23}=15, x_{24}=10, x_{31}=5, x_{34}=5$ la cual reporta un valor en la función objetivo (costo) de Z=15(2)+0(11)+15(9)+10(20)+5(4)+5(18)=$475 que efectivamente es una mejor solución inicial que la obtenida por el Método de la Esquina Noroeste (que provee un valor de $520 al ser evaluado en la función objetivo) pero por cierto no es la solución óptima según se aprecia en la siguiente imagen que resume la implementación computacional del problema en Solver.

El Método de Aproximación de Vogel es una versión mejorada del Método del Costo Mínimo y el Método de la Esquina Noroeste que en general produce mejores soluciones básicas factibles de inicio, entendiendo por ello a soluciones básicas factibles que reportan un menor valor en la función objetivo (de minimización) de un Problema de Transporte balanceado (suma de la oferta = suma de la demanda).

Los pasos que requiere la aplicación del Método de Aproximación de Vogel son los siguientes:

Paso 1: Determinar para cada fila (columna) una medida de penalización restando el elemento de costo unitario mínimo en la fila (columna) del elemento con costo unitario siguiente al mínimo de la misma fila (columna).

Paso 2: Identificar la fila o columna con la mayor penalización. Romper los empates (de existir) de forma arbitraria. Asignar todo lo posible a la variable que tenga el mínimo costo unitario de la fila o columna seleccionada. Ajusta la oferta y la demanda y tachar la fila o la columna ya satisfecha. Si se satisfacen una fila y una columna en forma simultánea, sólo se tacha uno de los dos y al que queda se le asigna oferta o demanda cero.

Paso 3:

Si queda sin tachar exactamente una fila o columna con cero oferta o demanda, detenerse.
Si queda sin tachar una fila (columna) con oferta (demanda) positiva, determinar las variables básicas en la fila (columna) con el Método del Costo Mínimo. Detenerse.
Si todas las filas y columnas que no se tacharon tienen cero oferta y demanda (restante), determinar las variables básicas cero por el Método del Costo Mínimo. Detenerse.
En cualquier otro caso, seguir en el Paso 1.

Ejemplo Método de Aproximación de Vogel

Consideremos nuevamente un problema de transporte balanceado que tiene 3 fuentes de oferta (silos) y 4 fuentes de demanda (molinos). Los valores numéricos en la esquina superior derecha de cada cuadro, en adelante $c_{ij}$ representan el costo unitario de transporte desde el silo i al molino j. Por ejemplo $c_{11}=10$ es el costo unitario de transporte desde el silo 1 al molino 1.

Según lo descrito anteriormente el primer paso consiste en calcular el factor de penalización para cada fila y columna de la tabla que representa el problema de transporte anterior. Por ejemplo, en la fila 1 el mínimo costo es $2 y y el costo unitario siguiente al mínimo es $10. En consecuencia la penalización de dicha fila es $8 ($10-$2). Se replica el mismo cálculo para cada fila y columna de la tabla lo cual es trivial y reporta los siguientes resultados (se han marcado las penalizaciones de las respectivas filas y columnas con color naranjo para mayor claridad):

Como la fila 3 tiene la máxima penalización ($10) y la celda correspondiente a $x_{31}$ tiene el costo unitario mínimo de esa fila, se asigna 5 unidades a $x_{31}$ (más no es necesario aún cuando la capacidad del silo 3 lo permite dado que la demanda del molino 1 es de sólo 5 unidades). Con esto la columna 1 se debe tachar (lo hemos marcado con color amarillo) y se procede a calcular las nuevas penalizaciones como se aprecia a continuación:

Ahora la penalización máxima es $9 ($11-$2) lo cual se alcanza en la fila 1. En consecuencia se asigna la máxima cantidad posible a la variable $x_{12}$ , con lo que se obtiene $x_{12}=15$ , y al mismo tiempo se satisfacen tanto la fila 1 como la columna 2. En forma arbitraria se tacha la columna 2 y se ajusta a cero la oferta en la fila 1.

Al continuar de la misma forma, ahora la fila 2 es la que produce la máxima penalización correspondiente a $11 ($20-$9), por tanto se asigna $x_{23}=15$ , con lo que se tacha la columna 3 y quedan 10 unidades en la fila 2. Sólo queda la columna 4 y tiene 15 unidades de oferta positiva. Al aplicar el Método del Costo Mínimo a esa columna, se asigna de forma sucesiva $x_{14}=0, x_{34}=5, x_{24}=10$ (se recomienda verificar dichos resultados). Notar adicionalmente que hay otras soluciones posibles que dependen de cómo se rompen los empates.

El valor de la función objetivo asociado a esta solución factible inicial es Z=15(2)+0(11)+15(9)+10(20)+5(4)+5(18)=$475 que es similar a lo alcanzado por el Método del Costo Mínimo, no obstante, en general el Método de Aproximación de Vogel reporta mejor solución de inicio.

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Método del Costo Mínimo (Algoritmo de Transporte en Programación Lineal)

Método de Aproximación de Vogel (Algoritmo de Transporte en Programación Lineal)

Ejemplo Método de Aproximación de Vogel