El siguiente problema fue enviado por uno de nuestros usuarios de la ciudad de Bogota, Colombia:

En la ciudad de Armenia se va a demoler un barrio de 10 acres y la alcaldía debe decidir sobre el nuevo plan de desarrollo. Se van a considerar dos proyectos habitacionales: viviendas a bajo costo y viviendas a medio costo. Se pueden construir 20 y 15 unidades de cada vivienda por acre, respectivamente. Los costos por unidad de las viviendas a bajo y medio costo son $13.000 y $18.000, respectivamente. Los límites inferior y superior establecidos por la alcaldía sobre el número de viviendas de bajo costo son 60 y 100 respectivamente. De igual manera, el número de viviendas de costo medio debe estar entre 30 y 70. Se estima que el mercado potencial combinado máximo para las viviendas es de 150 (que es menor que la suma de los límites de los mercados individuales debido al translapo entre los dos mercados). Se desea que la hipoteca total comprometida al nuevo plan de desarrollo no exceda los $2 millones. Finalmente, el asesor de la obra sugirió que el número de viviendas de bajo costo sea por lo menos de 50 unidades mayor que la mitad del número de viviendas de costo medio. Formule como un programa Lineal el problema del nuevo plan de desarrollo a costo mínimo y resuélvalo gráficamente.

A continuación detallamos la resolución de este problema de programación lineal:

1. Variables de Decisión:

• X1: Viviendas de bajo costo a construir
• X2: Viviendas de costo medio a construir

2. Función Objetivo: Minimizar 13.000X1 + 18.000X2

3. Restricciones:

• Disponibilidad de acres: (X1/20) + (X2/15) <= 10
• Límites de viviendas de bajo costo: 60 <= X1 <= 100
• Límites de viviendas de costo medio: 30 <= X2 <= 70
• Límite mercado combinado: X1 + X2 <= 150
• Límite hipoteca total: 13.000X1 + 18.000X2 <= 2.000.0000
• Sugerencia asesor de obra: X1 >= 50 + (X2/2)
• No Negatividad: X1>=0   X2>=0

La resolución gráfica del modelo de programación lineal anterior se muestra a continuación utilizando el software Geogebra:

• Solución Óptima: X1=65   X2=30
• Valor Óptimo: V(P)=$1.385.000

En programación lineal, el precio sombra se refiere a una tasa de cambio del valor óptimo ante una modificación marginal del lado derecho de una restricción, entendiendo como marginal una modificación que permita mantener las actuales restricciones activas para el problema. En este tipo de análisis se asume que el resto de los parámetros del modelo permanecen constantes.

En artículos anteriores hemos analizado cómo calcular el precio sombra de una restricción gráficamente y en forma complementaria cómo interpretar los informes de sensibilidad de restricciones de Solver de Excel. Esto sin duda es una buena base conceptual para entender el significado del precio sombra de una restricción.

En esta oportunidad nos referiremos a una situación que a priori podría parecer anómala: que una restricción asociada a un modelo de programación lineal tenga un precio sombra negativo. Para ello utilizaremos nuevamente el modelo de transporte el cual se representa a continuación:

La resolución de este modelo utilizando Solver de Excel se resume a continuación:

[Leer más...]

En Internet existen recursos gratuitos valiosos para los estudiantes de los cursos de investigación de operaciones (conocido también como investigación operativa) que son de gran ayuda para complementar los conceptos tratados en el aula y la bibliografía. En el siguiente artículo ponemos en disposición de nuestros lectores algunos recursos que recomendamos:

1. Solver: Es sin duda la principal herramienta para resolver modelos de optimización de tamaño reducido utilizado por los alumnos de cursos de ingeniería. Este complemento de Excel se puede descargar desde el sitio web de Frontline en su versión premium para implementar modelos de mayor tamaño.

2. What’s Best: Es la alternativa a Solver dado que funciona integrada en una planilla de cálculo (Excel). La interfaz es intuitiva y seguramente quién domine Solver no demorará mucho en aprender los elementos básicos de este programa. What’s Best ha sido desarrollado por la empresa de software Lindo.

3. AMPL: Es un lenguaje de programación matemática que permite abordar la formulación y resolución de modelos de optimización de programación lineal, programación entera y programación no lineal (entre otros). Esta plataforma es popular para modelos de mayor complejidad que requieren para su resolución de algoritmos especializados.

4. GAMS: Es una herramienta de formulación matemática alternativa a AMPL que permite formular y resolver modelos de optimización de complejidad mayor.

5. NEOS Solvers: Es un portal que consolida una gran variedad de solvers (algoritmos) que permiten resolver distintas categorías de modelos de optimización formulados en un lenguaje matemático determinado (como AMPL y GAMS). El procedimiento es el siguiente: se selecciona un solver que permita resolver nuestro modelo (depende del lenguaje de programación matemática y el tipo de modelo), se sube el archivo del  modelos (y/o datos) y se obtienen los resultados online.

6. Geogebra: Es un excelente programa que nos ayuda a graficar distintas formas geométricas y en particular resolver gráficamente modelos de optimización lineales o no lineales. Este programa se puede descargar gratuitamente e instalar en nuestro computador o alternativamente utilizar su aplicación web directamente sin necesidad de descargar el programa.

7. Método Simplex (ProgramacionLineal.net): Es una herramienta que permite resolver modelos de programación lineal a través del método simplex, mostrando paso a paso las respectivas iteraciones, solución óptima y valor óptimo.