Cómo calcular la Utilización de un servidor, Tiempo de Espera y Tiempo de Flujo de una Línea de Espera

El siguiente artículo aborda de forma práctica cómo calcular algunos indicadores de desempeño básico de un sistema de espera con un único servidor. Entre ellos, la tasa promedio de flujo (λ), la capacidad promedio del servidor (μ), la utilización promedio del servidor (ρ=λ/μ), el tiempo promedio que un cliente esta en la fila esperando ser atendido (Wq) y el tiempo promedio que un cliente esta en el sistema (Ws), esto incluyendo tanto los tiempos de espera como los tiempos de atención.

Considere un proceso de línea de espera que tiene un servidor y una única fila (caja de atención) como el que se describe a continuación. Se opera bajo una regla de prioridad FIFO, es decir, se atienden los clientes por orden de llegada. Los registros tomados para la primera hora de trabajo de un día en particular son los siguientes:

linea-de-espera-1-servidor
tabla-llegada-de-clientes-l

Por ejemplo el Cliente 3 llega exactamente 9 minutos después de iniciada las actividades y una vez que comienza su atención (por el servidor) el tiempo requerido para completar ésta es de 7 minutos. Es decir, el tiempo de flujo de este cliente es de 11 minutos, donde 7 minutos corresponde a la atención en sí y los 4 minutos restantes son los minutos que debe esperar que se desocupe el servidor (que esta atendiendo al Cliente 2). Con este ejemplo queda en evidencia que contar con la información de las primeras 3 columnas se puede completar la información de las columnas restantes.

Ahora desarrollaremos algunos cálculos básicos que permite tener una noción del desempeño de esta línea de espera.

Calcular la tasa de flujo promedio (λ) y la capacidad promedio del servidor (μ): Pasaron 12 clientes por el servicio en 60 minutos, luego la tasa de flujo promedio es λ=0,2[clientes/minuto]=12[clientes/hora]. El tiempo de servicio promedio es 4[min] (corresponde al promedio de los valores de la columna Ws), luego la capacidad promedio es μ=1[clientes]/4[min]=0,25[clientes/min]=15[clientes/hora].

La utilización promedio del servidor (ρ): Esto permite estimar que porcentaje del tiempo en promedio el servidor esta ocupado (atendiendo clientes). En nuestro ejemplo ρ=λ/μ=12[clientes/hora]/15[clientes/hora]=80%. Notar que de este ejemplo sencillo se obtiene una importante conclusión que se puede extrapolar a otros sistemas de espera más complejos:

Si existe variabilidad en las llegadas y/o atenciones, entonces hay colas (aunque de largo finito). A pesar de que λ<μ, es decir, de que ρ<1. Si λ>μ el sistema es inestable (colas infinitas). Es decir, las colas se deben a la variabilidad y no al hecho de que λ>μ (ρ>1).

El tiempo promedio que un cliente pasa en el sector de caja (espera + atención) (Ws): El tiempo promedio que un cliente pasa en el sector de caja corresponde al promedio de los valores de la columna “Tiempo Sistema”: Ws=8[min].

Evalúe si el proceso de llegada es estacionario: Un proceso de llegada es estacionario si el número esperado de clientes que llegan al sistema sólo depende de la longitud del intervalo de tiempo y no del tiempo de inicio del intervalo. Lo anterior por simple inspección no se cumple para el ejemplo. En este sentido se puede apreciar que en la primera media hora de observación han llegado 8 clientes (de un total de 12 clientes en la hora completa). Por tanto el sistema tiene un requerimiento mayor en el primer período de observación.

clientes-acumulados

El gráfico anterior corrobora esta conclusión. Se muestra la cantidad de clientes (acumulados) que han llegado al sistema al cabo de un determinado tiempo. La línea roja mostraría teóricamente el comportamiento de un proceso estacionario, donde un cliente llega exactamente cada 5[min]. La línea azul muestra el comportamiento real del proceso en estudio.

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