Problema de Producción y Ensamblaje resuelto con el Método Simplex

El siguiente problema de Programación Lineal fue enviado por uno de nuestros lectores desde Puerto Rico. Consiste en determinar la política óptima de producción y ensamblaje de una empresa que se dedica a fabricar componentes para computadoras. A continuación los detalles de dicho problema el cual luego de su formulación (definición de las variables de decisión, función objetivo y restricciones) será resuelto a través del Método Simplex:

Problema de Producción y Ensamblaje

Una pequeña compañía fábrica tres componentes electrónicos de computadoras. Componente A requiere 2 horas de fabricación, 1 hora de ensamblaje y 1 hora de finalización; Componente B requiere 3 horas de fabricación, 1 hora de ensamblaje y 1 hora de finalización; y el Componente C requiere 2 horas de fabricación, 2 horas de ensamblaje y 1 hora de finalización. La compañía tiene a lo sumo 1.000 horas de labor en la fabricación, 800 horas de labor en el ensamblaje y 100 horas de finalización disponibles cada semana. Las ganancias de cada componente A, B y C, son $7, $8 y $10, respectivamente.

¿Cuántos componentes de cada tipo debe la compañía fabricar cada semana de manera que pueda maximizar sus ganancias? ¿Cuál es la ganancia máxima?. Resuelva el problema de Programación Lineal utilizando el Método Simplex.

Sea x_{1}, x_{2}, x_{3} la cantidad de unidades a producir semanalmente del Componente A, B y C, respectivamente, un modelo de Programación Lineal que permite abordar el problema anterior es:

produccion-y-ensamblaje-mod

De modo de resolver el modelo a través del Método Simplex llevamos el mismo al formato estándar, agregando x_{4}, x_{5}, x_{5} como variables de holgura de las restricciones 1, 2 y 3, respectivamente (fabricación, ensamblaje y finalización).

forma-estandar-ensamblaje

Lo que da origen a la siguiente tabla inicial del método:

tabla-inicial-simplex-ensam

Por el criterio del costo reducido más negativo ingresa a la base la variable x_{3}. Luego calculamos el mínimo cuociente en dicha columna obteniendo: Min \begin{Bmatrix}{\frac{1.000}{2}, \frac{800}{2}, \frac{100}{1}}\end{Bmatrix}=100, el pivote está en la fila 3 y en consecuencia x_{6} deja la base. Se realiza entonces una iteración:

solucion-optima-ensamblaje

Notar que luego de una iteración las variables no básicas x_{1}, x_{2}, x_{6} tienen costos reducidos mayores a cero, además las variables básicas cumplen con las condiciones de no negatividad, a saber, x_{3}=100, x_{4}=800, x_{5}=600, lo que corresponde a una solución básica factible óptima. En consecuencia se propone producir exclusivamente 100 unidades del Componente C lo que reporta un valor óptimo (ganancia máxima) de $1.000.

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