Cómo Construir el Gráfico de Costos Totales del Modelo EOQ con Excel

En el artículo Deducción de la Fórmula del modelo de Tamaño Económico de Pedido (EOQ) discutimos los fundamentos que permiten obtener la solución de dicho modelo, en particular aquel tamaño de pedido que permite minimizar la función de costos totales. Siguiendo dicho desarrollo conceptual, a continuación presentaremos un ejemplo tipo del modelo de Cantidad Económica de Pedido (EOQ) donde con el apoyo de una planilla Excel construiremos la función de costos totales, mediante la evaluación del costo total para distintos tamaños de pedido.

La Joyería Caminante es representante exclusivo de los relojes Ballon Bleu, de la prestigiosa Maison Cartier™, elaborados con oro gris y cubiertos con alrededor de 500 diamantes. Se sabe que:

  • Caminante le paga a Maison Cartier 40.000€ por cada reloj que importa al país.

  • Los costos de transporte e internación ascienden a 4.000€ por orden, independiente del número de relojes transportados.

  • Una vez en el país, los relojes representan un costo de almacenamiento anual del 20% de su precio, debido a los elevados seguros involucrados.

  • El mercado de compradores para este artículo de lujo es obviamente limitado en el país, pero en los últimos años las ventas de este producto se han estabilizado en la cantidad de 3 relojes mensuales.

Determine el número de relojes que Caminante debe pedir cada vez que pone una orden con Maison Cartier™, de modo de minimizar sus costos totales. ¿Cual es el costo total anual que enfrenta Caminante sin incluir el costo de comprar los productos?.

El tamaño óptimo de pedido que permite minimizar el valor de la función de costos totales es:

q-optimo-eoq-relojes

Donde el costo total (mínimo) asociado a dicho tamaño de pedido es:

costo-total-relojes

Notar que se han omitido los costos de compra los cuales en este ejemplo al no existir descuentos por cantidad es el mismo independiente del tamaño del pedido.

Con la ayuda de una planilla Excel se puede evaluar cuál es el costo total anual para distintos tamaños de pedido. En particular resulta de interés evaluar el valor que alcanza la función de costos totales para tamaños de pedido entre 1 y 36 relojes (la siguiente tabla muestra un extracto de dicho procedimiento).

tabla-costo-total-en-funcio

La información completa se puede graficar lo que permite apreciar la convexidad de la función de costos totales. Se ha incluido una línea punteada de color rojo que intercepta el eje vertical (costo total anual) para un valor de 48.000€ el cual se alcanza para un tamaño de pedido de 6 relojes.

grafico-costo-total-eoq

Fórmula del modelo de Tamaño Económico de Pedido (EOQ)

En el modelo de Tamaño Económico de Pedido o EOQ (de sus denominación del inglés Economic Order Quantity) y considerando sus supuestos simplificadores (entre otros demanda constante y conocida y tiempo de reposición o Lead Time constante y conocido) los costos significativos son los costos de mantener el inventario y los costos de hacer el pedido.

Sea D la demanda anual (o la demanda durante el horizonte de evaluación que corresponda), S el costo de emisión de pedidos que se asume que es fijo independiente del tamaño del pedido y H el costo unitario de almacenamiento (anual o según corresponda), la función de costos totales se expresa de la siguiente forma:

costos-totales-eoq

Se puede observar que desde el punto de vista de los costos de almacenamiento existe un incentivo a pedidos de menor tamaño para satisfacer la demanda. No obstante los costos de emisión de pedidos son crecientes cuando los pedidos son de menor tamaño dado que se requerirá de un mayor número de pedidos para satisfacer la demanda. Este efecto contrapuesto de los costos de almacenamiento y emisión de pedidos para distintos tamaños de pedido se observa en la siguiente gráfica:

grafico-costos-eoq

En relación a lo anterior la solución del modelo EOQ busca encontrar el tamaño óptimo de pedido que permite minimizar la función de costos totales (que es la suma de los costos de almacenamiento y costos de emisión). Para encontrar dicho Q óptimo derivamos la función de costos totales en términos del tamaño de pedido e igualamos a cero, para luego encontrar la solución EOQ. A continuación la deducción de la fórmula del modelo EOQ:

deduccion-formula-eoq

Notar que el término C*D marcado con color rojo en la fórmula anterior representa el costo asociado a la compra de las unidades que permite satisfacer la demanda D. Si se asume que no hay descuentos por cantidad dicho costo de compra no discrimina entre distintas alternativas de tamaño de pedido. Por el contrario bajo el escenario de que existe descuentos por cantidad entonces el costo total de compra se verá afectado para distintos tramos de pedido que generan cambios en los precios unitarios. Recomendamos al lector revisar en este caso el modelo EOQ con Descuentos por Cantidad.

Ejemplo: LubeCar se especializa en cambios rápidos de aceite para motor de automóvil. La empresa compra aceite para motor a granel a un distribuidor a $2,5 por galón. En el servicio se atienden unos 150 autos diarios y cada cambio de aceite requiere de 1,25 galones. LubeCar guarda el aceite a granel con un costo de $0,02 por galón y por día. También, el costo de emitir un pedido de aceite a granel es de $20. Considere que el tiempo de entrega del distribuidor (tiempo de espera) es de 2 días. Asuma que un año típico tiene 250 días.

Determine la cantidad óptima de pedido utilizando EOQ:

D=1,25[galones/auto]*150[autos/día]*250[días/año]=46.875[galones/año]. Por tanto la cantidad óptima a pedir es:

solucion-eoq-lubecar

Determine el costo total anual para LubeCar:

costo-total-eoq

El lector podrá observar que el tamaño óptimo de pedido de Q^{*}=612[galones/pedido] es el que minimiza el valor de la función de costos totales (se incluye el costo de la compra). Para corroborar el resultado anterior y con la ayuda de Excel se evalúan otras alternativas de pedido que otorgan costos anuales mayores que la cantidad económica de pedido.

costo-total-para-distintos-

Interpretación del Informe de Sensibilidad de Celdas Cambiantes (Solver)

Cuando Resolvemos un modelo de Programación Lineal con Solver de Excel utilizamos una estimación de los parámetros (constantes) los cuales generalmente hacen referencia a disponibilidad de recursos, precios, costos, etc. En este contexto nos interesa simular el impacto en los resultados ante variaciones marginales de dichos parámetros sin la necesidad de resolver un nuevo modelo de optimización.

Este objetivo se puede alcanzar a través de los Informes de Sensibilidad de Solver los cuales se pueden generar una vez resuelto un escenario base para un modelo de optimización lineal, seleccionando la opción “Sensibilidad” (o Confidencialidad en versiones recientes de Office) según se muestra a continuación:

Análisis de Sensibilidad Solver

El siguiente análisis explica cómo interpretar el Informe de Sensibilidad de Celdas Cambiantes de Solver para el siguiente modelo de Programación Lineal:

Modelo Lineal 2

Con solución óptima X=14/5 Y=8/5 y valor óptimo V(P)=20,8. El Informe de Celdas Cambiantes corresponde a:

Informe Sensibilidad Celdas Cambiantes

Notar que en la última columna se ha marcado con color rojo la palabra Aumento que debiese decir Disminución (este tipo de error se observa generalmente en las versiones más antiguas de Office).

El Informe de Sensibilidad de Celdas Cambiantes nos indica el intervalo de variación para cada parámetro de la función objetivo que permite mantener la actual solución óptima (asumiendo que el resto de los parámetros permanece constante).

Por ejemplo, el coeficiente que actualmente pondera a la variable X en la función objetivo de maximización es 4. El aumento permisible de 4 nos indica que el actual parámetro podría aumentar en dicha magnitud y la solución óptima actual se mantendría.

Análogamente se podría disminuir en 1 unidad (disminución permisible) y se conserva la solución actual.

En conclusión, el Intervalo de Variación para el parámetro que pondera a la variable X en la función objetivo que conserva la actual solución óptima es entre [3,8].

Siguiendo un procedimiento similar se puede demostrar que el intervalo de variación para el parámetro asociado a la variable Y en la función objetivo que conserva la actual solución óptima es entre [3,8] (sólo es una coincidencia que sean los mismos intervalos para cada parámetro).

Por ejemplo, un cambio en uno de los parámetros de la función objetivo afecta la pendiente de ésta (curvas de nivel) que en la medida que se encuentre en el intervalo de variación previamente determinado mantendrá al vértice C como solución óptima del problema.

Resolución Gráfica PL

Una forma sencilla de corroborar estos resultados es mediante el Método Gráfico en Programación Lineal. Adicionalmente en el artículo Análisis de Sensibilidad Método Gráfico se detalla el procedimiento para obtener los intervalos de variación para los parámetros tanto en la función objetivo como en las restricciones del problema. Recomendamos revisar ambos artículos de modo de favorecer la comprensión de este tipo de análisis.

Cantidad Económica de Pedido (EOQ) con Descuentos por Cantidad

Uno de los supuestos del modelo de Cantidad Económica de Pedido (o EOQ según sus siglas en inglés) es que el costo de adquisición unitario es independiente del tamaño del pedido, sin embargo, este supuesto es factible de flexibilizar debido a que en muchos casos es razonable asumir que se puede acceder a un determinado descuento por unidad en la medida de pedidos de tamaño mayor.

Para determinados productos, los proveedores suelen ofrecer una escala de descuentos dependiendo del tamaño del pedido. Este tipo de estrategia de venta es frecuentemente utilizado por mayoristas y distribuidores que buscan con esto tener una mayor Rotación de Inventario y en consecuencia disminuir los Días de Inventario (con la correspondiente disminución de los costos de almacenamiento del inventario). Adicionalmente, la escala de descuentos suele estar previamente tabulada y accesible para el comprador.

Ejemplo EOQ con Descuentos por Cantidad

A continuación tomaremos nuevamente los datos del ejemplo de EOQ analizados en el tutorial del Cálculo de la Cantidad Económica de Pedido con WINQSB, sin embargo, en esta oportunidad consideraremos que el costo de almacenamiento anual se puede representar como un porcentaje del costo de adquisición.

  • D: Demanda Anual = 6.000 unidades
  • S: Costo de Emisión = $750
  • H: Costo de Almacenamiento Anual (unitario) = 10% del costo de adquisición (i)

El precio unitario a pagar dependerá del tamaño del pedido según muestra la siguiente tabla:

Descuentos EOQ

Para poder determinar el tamaño de pedido que minimiza los costos totales se debe evaluar cada uno de los tramos de precios.

Notar que H=i*C, es decir, se considera que el costo de almacenar un producto se puede representar como un porcentaje de su costo de adquisición (compra). De esta forma, al aumentar los descuentos (y en consecuencia disminuir el precio de compra) el costo unitario de almacenamiento representado por H=i*C disminuirá y generará un incentivo a pedidos de mayor tamaño (dado que el denominador de la formula a continuación disminuye en magnitud).

EOQ con descuento por cantidad

En el primer tramo (sin descuento) el tamaño de pedido recomendado es de 150 unidades.

En el segundo tramo el tamaño de pedido óptimo según EOQ es de 160,3 unidades, sin embargo, dicho pedido es insuficiente para acceder al precio descontado de $3.500 por tanto para el tramo 2 el pedido óptimo se aproxima a 200 unidades.

Finalmente para el tercer tramo el tamaño del pedido es también insuficiente para acceder al precio unitario de $3.200 por tanto se aproxima a 300 unidades.

En resumen, para el tramo 1 ==> Q=150[u/ped]; tramo 2 ==> Q=200[u/ped]; tramo 3 ==> Q=300[u/ped].

Los fórmula de Costos Totales del Modelo EOQ es: CT=C*D+(D/Q)*S+(Q/2)*H

  • Tramo 1: CT=$4.000*6.000+(6.000/150)*$750+(150/2)*10%*$4.000=$24.060.000
  • Tramo 2: CT=$3.500*6.000+(6.000/200)*$750+(200/2)*10%*$3.500=$21.057.500
  • Tramo 3: CT=$3.200*6000+(6.000/300)*$750+(300/2)*10%*$3.200=$19.263.000

El menor costo se alcanza en el tramo 3 y la cantidad de pedido que minimiza los costos totales será de 300 unidades. Es importante destacar que no necesariamente el tramo con el menor precio unitario será el que tenga el menor costo asociado y por tanto el resultado obtenido en este ejemplo no se puede extrapolar para cualquier caso.

Cantidad Económica de Pedido (EOQ) con WINQSB

El modelo de Cantidad Económica de Pedido o simplemente EOQ (Economic Order Quantity) por sus siglas en inglés, es una de las herramientas más sencillas en la Gestión de Inventarios que permite obtener el tamaño del pedido que minimizan los costos totales asociados a la gestión del inventario.

Como todo modelo necesita de algunos supuestos que dependiendo de la situación práctica que se desee modelar serán más o menos realistas. Los supuestos más fuertes o característicos de EOQ es que la demanda es constante y conocida y que el tiempo de entrega (o lead time) del pedido es constante y conocido.

El Costo Anual total del Inventario queda definido por la suma de los costos de adquisición o compra (D*C), costos de emisión de pedidos (D/Q)*S y costos de almacenamiento (Q/2)*H.

La Fórmula del modelo de Tamaño Económico de Pedido EOQ que representa el costo total del inventario es la siguiente:

CT = D*C + (D/Q)*S + (Q/2)*H

Al respecto recomendamos leer el artículo Cómo Construir el Gráfico de Costos Totales del Modelo EOQ con Excel que muestra de forma sencilla cómo obtener el costo total para distintos tamaños de pedido.

Para obtener la cantidad de pedido que minimiza la función de costos totales se deriva la fórmula respecto a Q y se iguala a cero, para posteriormente despejar el parámetro Q. Notar que el costo de adquisición (C*D) será constante independiente de la política de pedido (tamaño de pedido) en la medida que no existan descuentos por cantidad.

Fórmula EOQ

Donde D es usualmente la demanda anual (que se asume conocida o factible de estimar con precisión), S es el costo de hacer un pedido (o costo de emisión) que se asume fijo y H es el costo anual unitario de almacenamiento en el inventario.

A continuación se presenta un ejemplo para ilustrar la aplicación de este modelo de Cantidad Económica de Pedido (EOQ):

  • D: Demanda Anual = 6.000 unidades
  • S: Costo de Emisión = $750
  • H: Costo de Almacenamiento Anual (unitario) = $400

Reemplazando los parámetros en la fórmula se obtiene Q=150 [unidades/pedido] que es la cantidad de pedido que minimiza el costo anual del inventario: CT=(6.000/150)*$750+(150/2)*$400=$60.000. El siguiente tutorial muestra cómo obtener estos resultados utilizando el software WINQSB:

Se puede corroborar (recomendamos fuertemente al lector hacer esto) que cualquier otra cantidad de pedido proporciona un costo anual del inventario superior al obtenido con el modelo EOQ. Esto debido a que el tamaño del pedido obtenido con EOQ equilibra explícitamente los costos de emisión con los costos de almacenamiento.

Notar que para tamaños de pedido grandes los costos de emisión se minimizan (se requerirá de menos pedidos en el año) y los costos de almacenamiento se maximizan (dado que se tendrá un inventario promedio mayor en las bodegas). De forma análoga, para pedidos pequeños los costos de emisión se maximizan a la vez que los costos de almacenamiento se minimizan.