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Ejemplo de una Cadena de Markov en Tiempo Discreto

En el siguiente artículo abordaremos la formulación de una Cadena de Markov en tiempo discreto, para la cual identificaremos la variable aleatoria que resulta de interés su análisis, los posibles estados que puede adoptar dicha variable en un periodo cualquiera y las probabilidades de transición en una etapa que se puede resumir en una matriz de transición de probabilidades conocida como matriz P. En dicho contexto consideremos el siguiente ejemplo:

Un individuo posee 2 paraguas los cuales emplea para ir de su casa al trabajo y viceversa (llevando uno a la vez). Si está en casa (oficina) al comienzo (final) del día y está lloviendo toma un paraguas, si lo hay para ir de su casa a la oficina y viceversa. Asuma que independiente del pasado llueve al comienzo (final) del día con probabilidad p (0<p<1). Se desea modelar el número de paraguas en su casa al inicio del día n, suponiendo que inicialmente ambos paraguas están en su casa.

El problema sugiere como variable aleatoria el modelamiento del número de paraguas que tiene el individuo en su casa al inicio del día n:

Los posibles estados o valores que puede adoptar la variable aleatoria en una etapa n cualquiera son 0, 1 o 2. Es decir, el individuo podrá tener en su casa al inicio de un día en particular 0, 1 o 2 paraguas.

A continuación corresponde identificar las probabilidades de transición en una etapa, lo cual depende de la dinámica de la situación planteada:

Por ejemplo P(0,0) representa la probabilidad de que un día el individuo no tenga paraguas en su casa (por tanto los 2 paraguas están en la oficina) y que al inicio del día siguiente siga en la misma situación (es decir, sin paraguas en la casa). Los escenarios que permiten esta situación son que llueva en la mañana (con probabilidad p) y que no llueva en la tarde (con probabilidad 1-p). Adicionalmente si no llueve en la mañana (con probabilidad 1-p) y no llueve en la tarde (con probabilidad 1-p) el individuo al inicio del día siguiente no tendrá paraguas en la casa. En consecuencia se puede notar que para este caso lo relevante es que no llueva en la tarde (sin importar si llueve o no en la mañana) para que de esta forma el individuo no se lleve un paragua desde la oficina a la casa.

Otra combinación interesante es P(2,2) que considera la probabilidad de tener los 2 paraguas en la casa al inicio de un día (y por tanto ninguno en la oficina) y al inicio del día siguiente también tener 2 paraguas en la casa. Para ello se debe cumplir alguno de los siguientes escenarios: que llueva en la mañana y en la tarde, que no llueva ni en la mañana ni en la tarde o que no llueva en la mañana pero si llueva en la tarde.

Una vez identificadas todas las probabilidades de transición en una etapa entre estados, éstas se pueden resumen en la matriz de probabilidades de transición (conocida también como matriz P). Notar que la suma de las probabilidades de cada una de las filas de la matriz es (y debe ser) un 100%.

Alternativamente la información anterior se puede representar a través de un grafo donde cada nodo representa un estado y las flechas muestran si es posible pasar de un estado a otro al cabo de una etapa (y cuál es la probabilidad asociada en dicho caso):

Adicionalmente se puede identificar (si se cuenta con dicha información) la distribución inicial de estados que permite identificar cuál es la probabilidad que al inicio de la planificación el proceso se encuentre en alguno de los n estados posibles. En este ejemplo sabemos que se comienza con 2 paraguas en la casa:

Con la información recabada en este problema estamos en condiciones de poder estimar cuál es la probabilidad que comenzando en un estado i pasemos a un estado j al cabo de n etapas (pasos). Este tipo de análisis y otros complementarios los abordaremos en un próximo artículo.

Actualización: Se recomienda consultar el artículo Cadenas de Markov (Ejercicios Resueltos) para encontrar material de estudio complementario al presentado en esta publicación.

Cómo calcular la Probabilidad de Instock asociado al Inventario

Una supuesto frecuente de los modelos de Gestión de Inventarios sencillos es considerar que la demanda a la cual una empresa se enfrenta es conocida, es decir, no existe incertidumbre. Este supuesto da origen a Modelos Deterministas de inventarios como el de Cantidad Económica de Pedido (EOQ) con o sin Descuentos por Cantidad, Producción y Consumo Simultaneo (POQ), entre otros.

Si bien los Modelos Deterministas para la Gestión de Inventarios resultan ser útiles, en la mayor parte de las aplicaciones prácticas, es muy difícil mantener como razonable y representativo el supuesto de una demanda constante y conocida.

Para enfrentar esta situación se proponen Modelos Estocásticos, es decir, donde la demanda presenta un comportamiento aleatorio el cual puede o no ser estimado por una distribución de probabilidad conocida o en su defecto por una distribución empírica.

En este contexto de demanda aleatoria no se puede asegurar a ciencia cierta si una determinada cantidad de unidades en inventario serán suficientes para satisfacer los requerimientos de demanda de un producto. Sin embargo, si se logra perfilar el comportamiento de la demanda (aleatoria) se estará en condiciones de poder estimar que tan probable es satisfacer la demanda dada una cierto tamaño del inventario.

Uno de los indicadores de gestión que se utiliza frecuentemente es el Instock, el cual bajo un escenario de demanda con incertidumbre indica la probabilidad de satisfacer en forma íntegra la demanda (es decir, evitar quiebres de stock) para un determinado nivel de inventario.

Ejemplo del Cálculo del Instock

Para graficar este concepto consideremos que una empresa tiene 900 unidades de un producto en inventario y enfrenta una demanda por el mismo que se puede representar por una Distribución Normal con media 800 unidades ( $\mu=800$ ) y Desviación Estándar de 100 unidades ( $\sigma=100$ ). Nos interesa calcular la Probabilidad de Instock, es decir, la probabilidad que la demanda sea menor o igual a 1.000 unidades:

La Probabilidad de Instock por tanto es de un 84,13%. Para obtener la probabilidad asociada a un determinado valor de Z utilizando la Distribución Normal Estándar podemos utilizar una tabla de probabilidad que frecuentemente se incluyen como anexos en los libros de probabilidad básica o en su defecto podemos utilizar la fórmula de Excel =DISTR.NORM.ESTAND(Z). (En nuestro caso Z=1 destacado con color rojo en la tabla a continuación).

De este modo, la probabilidad de incurrir en un quiebre de stock dado un inventario de Q=900 unidades es de un 15,87% que se representa como el área achurada a la derecha de las 900 unidades.

Probabilidad de terminar un Proyecto en un tiempo determinado con PERT

Cuando se utiliza el método PERT (Program Evaluation and Review Technique) uno de los principales objetivos es considerar la incertidumbre en el tiempo de duración de cada una de las actividades de modo de poder estimar la probabilidad de completar el proyecto en un tiempo determinado. Este tipo de análisis resulta de bastante utilidad en aplicaciones prácticas dado que se entiende que en todo Proyecto existen imprevistos o circunstancias que pueden afectar la duración de una actividad y su impacto se puede traspasar al inicio o termino de otras actividades.

Probabilidad de completar un Proyecto en un tiempo determinado utilizando PERT

Para introducir este concepto consideraremos nuevamente nuestro ejemplo de un proyecto que consta de 9 actividades y que contempla las siguientes secuencias y tiempos estimados para cada uno de sus 3 escenarios:

Luego de obtener la duración del proyecto utilizando la Metodología de PERT y el software WINQSB, se determina que el tiempo estimado para completar el proyecto es de 21,5 semanas y las actividades de la ruta crítica son D-F-G. El paso siguiente es determinar la sumatoria de las varianzas de las actividades que pertenecen a la ruta crítica. La varianza se obtiene como:

Donde b es el tiempo pesimista y a es el tiempo optimista. La siguiente tabla muestra el cálculo de la varianza redondeando a 5 decimales (decisión arbitraria para efectos de desarrollar el ejemplo). Se ha marcado con verde las actividades de la ruta crítica para las cuales en la celda H13 se ha calculado la suma de sus varianzas.

Consideremos ahora que para este proyecto nos interesa calcular la probabilidad de poder terminarlo en 23 semanas o menos. Para ello desarrollamos el siguiente procedimiento que nos indica que dicha probabilidad es un 86,86%:

Esta probabilidad también se puede obtener con la función de Excel: =DISTR.NORM.ESTAND(1,12)

El siguiente tutorial muestra cómo calcular la probabilidad de terminar el proyecto en 23 semanas o menos utilizando WINQSB. Notar que el resultado es levemente diferente sólo por efecto de aproximación: