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Cantidad Económica de Pedido (EOQ) con WINQSB

El modelo de Cantidad Económica de Pedido o simplemente EOQ (Economic Order Quantity) por sus siglas en inglés, es una de las herramientas más sencillas en la Gestión de Inventarios que permite obtener el tamaño del pedido que minimizan los costos totales asociados a la gestión del inventario.

Como todo modelo necesita de algunos supuestos que dependiendo de la situación práctica que se desee modelar serán más o menos realistas. Los supuestos más fuertes o característicos de EOQ es que la demanda es constante y conocida y que el tiempo de entrega (o lead time) del pedido es constante y conocido.

El Costo Anual total del Inventario queda definido por la suma de los costos de adquisición o compra (D*C), costos de emisión de pedidos (D/Q)*S y costos de almacenamiento (Q/2)*H.

La Fórmula del modelo de Tamaño Económico de Pedido EOQ que representa el costo total del inventario es la siguiente:

CT = D*C + (D/Q)*S + (Q/2)*H

Al respecto recomendamos leer el artículo Cómo Construir el Gráfico de Costos Totales del Modelo EOQ con Excel que muestra de forma sencilla cómo obtener el costo total para distintos tamaños de pedido.

Para obtener la cantidad de pedido que minimiza la función de costos totales se deriva la fórmula respecto a Q y se iguala a cero, para posteriormente despejar el parámetro Q. Notar que el costo de adquisición (C*D) será constante independiente de la política de pedido (tamaño de pedido) en la medida que no existan descuentos por cantidad.

Donde D es usualmente la demanda anual (que se asume conocida o factible de estimar con precisión), S es el costo de hacer un pedido (o costo de emisión) que se asume fijo y H es el costo anual unitario de almacenamiento en el inventario.

A continuación se presenta un ejemplo para ilustrar la aplicación de este modelo de Cantidad Económica de Pedido (EOQ):

D: Demanda Anual = 6.000 unidades
S: Costo de Emisión = $750
H: Costo de Almacenamiento Anual (unitario) = $400

Reemplazando los parámetros en la fórmula se obtiene Q=150 [unidades/pedido] que es la cantidad de pedido que minimiza el costo anual del inventario: CT=(6.000/150)*$750+(150/2)*$400=$60.000. El siguiente tutorial muestra cómo obtener estos resultados utilizando el software WINQSB:

Se puede corroborar (recomendamos fuertemente al lector hacer esto) que cualquier otra cantidad de pedido proporciona un costo anual del inventario superior al obtenido con el modelo EOQ. Esto debido a que el tamaño del pedido obtenido con EOQ equilibra explícitamente los costos de emisión con los costos de almacenamiento.

Notar que para tamaños de pedido grandes los costos de emisión se minimizan (se requerirá de menos pedidos en el año) y los costos de almacenamiento se maximizan (dado que se tendrá un inventario promedio mayor en las bodegas). De forma análoga, para pedidos pequeños los costos de emisión se maximizan a la vez que los costos de almacenamiento se minimizan.

Cómo obtener la Ruta Crítica (CPM) de un Proyecto con WINQSB

En la gestión de cualquier Proyecto un elemento crucial es estimar el tiempo requerido para poder terminarlo. Para ello se debe determinar si el tiempo necesario para completar cada actividad se puede considerar fijo (o determinista), o por el contrario es recomendable analizar distintos escenarios sobre la duración de las tareas o actividades (generalmente descritas como “normal”, “pesimista” y “optimista”) donde en dicho caso se afirma que el tiempo es estocástico.

El Método de Ruta Crítica o CPM (Critical Path Method) considera que el tiempo de las actividades es determinista y consiste en identificar una secuencia o camino más largo (crítico) que determina la duración del proyecto.

En el caso de proyectos con un número reducido de actividades se puede determinar la ruta crítica a través de simples cálculos manuales (como las que usualmente se realizan en las cátedras de ingeniería, por ejemplo, el ejemplo que se presentará a continuación), no obstante, cuando los proyectos crecen en su complejidad la utilización de un software idóneo resulta indispensable (por ejemplo, WINQSB).

Ejemplo Cálculo de la Ruta Crítica de un Proyecto (CPM) con WINQSB

Consideremos un proyecto que tiene 7 actividades, que siguen una secuencia determinada y requiere de un tiempo (en semanas) según se muestra en la siguiente tabla. Por ejemplo, la actividad G tiene una duración de 4 semanas y se puede iniciar una vez concluidas las actividades B, D y E.

Utilizando la información de la tabla anterior ingresamos los datos al programa WINQSB, en su módulo PERT–CPM según se muestra en el siguiente tutorial:

La Ruta Crítica es A-D-G y el tiempo estimado para poder completar el proyecto es de 12 semanas (3[sem]+5[sem]+4[sem]).

Notar que la ruta crítica es una secuencia de actividades relacionadas entre sí y que tienen holgura igual a cero. Esto significa que un atraso ya sea en A, D o G genera inmediatamente un retraso en el tiempo requerido para completar en proyecto (que actualmente es 12 semanas). Por supuesto no sucede lo mismo con otras actividades, por ejemplo, la actividad E que incluso se podría atrasar 4 semanas y el proyecto aún se podría concluir en 12 semanas.

El siguiente diagrama resume los resultados obtenidos con WINQSB para este proyecto:

Pronóstico de Demanda con Media Móvil Simple

El método de Media Móvil Simple (o Promedio Móvil Simple) es un procedimiento de cálculo sencillo que pertenece a la categoría de pronósticos de Series de Tiempo, es decir, que utiliza información histórica del desempeño de la variable que se desea pronosticar para poder generar un pronóstico de la misma a futuro. Es decir, se considera válida la premisa que el pasado es de utilidad para predecir el futuro.

El escenario ideal para la utilización del método de Media Móvil Simple es cuando la demanda real no presenta mayores variaciones de corto plazo, no presenta una tendencia marcada e idealmente no presenta estacionalidades.

En este contexto, por ejemplo, se podría esperar que muchos productos alimenticios presentan estas características (arroz, aceite, azúcar, etc) y por tanto su aplicación en principio puede resultar adecuada.

La función matemática que permite obtener un pronóstico utilizando Media Móvil Simple es:

Donde Ft es la demanda pronosticada para el período t y At la demanda real para el período t. La constante o parámetro n determina el número de períodos a promediar.

Mientras mayor sea el valor de n el pronostico suele presentar menor variabilidad y aproximar una tendencia de la serie de tiempo. Por cierto, esto último no necesariamente es mejor y por tanto se pueden utilizar distintos valores de n para efectos de evaluación y luego comparar el desempeño.

Media Móvil Simple (Ejemplo)

En la tabla a continuación se muestra el procedimiento de pronóstico de demanda con Media Móvil Simple con n=3. Por ejemplo, el pronóstico de Abril se obtiene promediando los valores reales de Enero, Febrero y Marzo: F(Abril)=(200+230+260)/3=230. El pronóstico de Mayo se obtiene promediando los valores reales de Febrero, Marzo y Abril: F(Mayo)=(230+260+180)/3=223. Notar que los pronósticos no consideran decimales (decisión arbitraria).

Para tener una primera aproximación a lo acertado del pronóstico se recomienda graficar los datos reales de demanda y los obtenidos con el pronóstico. De esta forma se obtiene un acercamiento sobre la magnitud de los errores del pronóstico y la naturaleza de éste, es decir, si se genera una sobre o sub estimación de la demanda real. Este análisis se puede complementar con el Cálculo del MAD y la Señal de Rastreo para el pronóstico generado.

Se puede observar que en 6 de los 9 pronósticos realizados se genera una subestimación de la demanda real lo cual nos da indicios que este método de pronóstico no es lo más adecuado en este caso. Dicho esto puede ser recomendable explorar con un método que considere el efecto de la tendencia de la serie, como por ejemplo, una Regresión Lineal Simple.

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Cálculo del MAD y la Señal de Rastreo para un Pronóstico de Demanda

Un aspecto clave cuando se realiza un Pronóstico de Demanda es evaluar éste en cuanto a su ajuste respecto a la información real que se dispone. Para ello se introduce el concepto error que básicamente mide la diferencia entre el valor real y el valor pronosticado para un período específico.

Formalmente el error de un pronóstico $e_{t}$ se define como $e_{t}=A_{t}-F_{t}$ donde $A_{t}$ es la demanda real u observada en el período t y $F_{t}$ es la demanda pronosticada para el mismo período.

De esta forma, si por ejemplo, para un período dado (digamos por ejemplo, período 1), la demanda real es de 150 unidades y nuestro pronóstico para el mismo período fue 100 unidades, entonces $e_{1}=A_{1}-F_{1}=150-100=50>0$ , entonces tenemos una subestimación de la demanda real de una magnitud de 50 unidades.

De forma análoga, si la demanda real es de 150 unidades pero nuestro pronóstico para el mismo período, es, por ejemplo, 250 unidades el error correspondiente es $e_{1}=A_{1}-F_{1}=150-250=-100<0$ , por tanto en este caso tenemos una sobrestimación de la demanda real de una magnitud de 100 unidades.

En la práctica un pronóstico perfecto es imposible y por tanto el tomador de decisiones sabe que debe lidiar con un grado de error.

En este contexto se pueden identificar 2 tipos de errores: error sistemático el cual depende del método de pronóstico que utilizamos y el error aleatorio el cual es propio de la variación inherente de la situación que se modela. Luego, nos interesa minimizar la presencia y magnitud del error sistemático.

Para ello utilizamos 2 indicadores que generalmente se analizan en forma conjunta para tener una visión más objetiva de lo adecuado (o no) de un pronóstico de demanda. Dichos indicadores son el MAD y la Señal de Rastreo (TS). En este contexto a continuación se presentan las fórmulas para el cálculo del MAD y la Señal de Rastreo para un pronóstico de demanda haciendo uso de un método de series de tiempo.

MAD (Error Absoluto Medio): Que proporciona una medición del error promedio del pronóstico (en valor absoluto) y queda definido matemáticamente por:

Señal de Rastreo (TS – Tracking Signal): Mide la desviación del pronóstico respecto a la variación de la demanda.

Cálculo del MAD y la Señal de Rastreo

A continuación se presenta el cálculo del MAD y la Señal de Rastreo para el pronóstico de demanda de un producto determinado utilizando Media Móvil Simple con n=3. Notar que $A_{t}$ corresponde a la demanda real (observada) para el período (mes) t y $F_{t}$ es la demanda pronosticada para el mes t (obtenido a través del método de media móvil según lo señalado anteriormente).

El siguiente video tutorial muestra cómo se obtienen los resultados detallados en el resumen anterior:

En el artículo Interpretación de la Señal de Rastreo de un Pronóstico de Demanda detallamos la interpretación de este indicador que nos permite evaluar la presencia de error sistemático y si algún tipo de error (sobrestimación o subestimación) predomina en nuestras estimaciones.

Así también se propone revisar el aporte para efectos de evaluación que constituye disponer de un indicador de desempeño adicional denominado MAPE (Error Porcentual Absoluto Medio) que permite tener una estimación relativa (porcentual) del error del pronóstico.

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Problema de Transporte resuelto con Solver de Excel

Un Problema de Transporte consiste básicamente en determinar una política de distribución óptima que permita satisfacer los requerimientos de un determinado número de clientes asociado a la capacidad o logística de un cierto conjunto de oferentes.

Este tipo de problemas es una aplicación clásica de los modelos de Programación Lineal debido a que nos permite abordar problemas de naturaleza real y adicionalmente, se puede incorporar elementos adicionales que hacen más compleja la representación a través de un modelo de optimización, pero que, sin embargo, en la mayoría de los casos resulta ser más realista.

En el siguiente artículo podrás encontrar un vídeo que describe la formulación general de un problema de transporte básico, como también el detalle de un caso específico o instancia y su posterior resolución computacional.

Problema de Transporte

A continuación se presenta probablemente el caso más simple a considerar para un Problema de Transporte. Asumamos que tenemos 2 oferentes (P1 y P2) con capacidad de producción de 160.000 y 120.000 unidades de un producto homogéneo. Estos oferentes deben abastecer a 3 clientes (C1, C2 y C3) con demandas unitarias de 80.000, 70.000 y 90.000 unidades, respectivamente. El gráfico a continuación muestra sobre las flechas los costos unitarios de transporte entre un origen (oferente) a un cliente (demandante).

El problema consiste en determinar una política óptima de abastecimiento desde los oferentes a los demandantes de modo de cumplir los requerimientos y lograr los costos más bajos posibles. Para ello definiremos el siguiente modelo de Programación Lineal:

1. Variables de Decisión:

Xij : Unidades Transportadas desde la Planta i hasta el Cliente j (Con i=1,2, y j=1,2,3)

2. Función Objetivo:

Consiste en minimizar la función que representa los costos de transporte entre los oferentes y los demandantes.

Minimizar 3X11 + 4X12 + 6X13 + 5X21 + 3X22 + 5X23

3. Restricciones:

X11 + X21 = 80.000 (Satisfacer Demanda Cliente 1)
X12 + X22 = 70.000 (Satisfacer Demanda Cliente 2)
X13 + X23 = 90.000 (Satisfacer Demanda Cliente 3)
X11 + X12 + X13 <= 160.000 (Capacidad Planta 1)
X21 + X22 + X23 <= 120.000 (Capacidad Planta 2)
Xij >= 0 (No Negatividad)

Luego de implementar este modelo en Solver de Excel se obtiene la Solución Óptima: X11=80.000; X12=40.000; X13=0; X21=0; X22=30.000; X23=90.000. El Valor Óptimo (mínimo costo) es de $940.000. A continuación un video tutorial con el detalle de la resolución.

El ejemplo de transporte anterior es sin duda una de las versiones más sencillas que se puede encontrar de esta clase de problemas. Una extensión interesante y generalmente objeto de estudio en los cursos de Investigación de Operaciones es el Modelo de Transporte con Transbordo o Problema de Transbordo en una Red Logística de Transporte Multiperíodo.